Potencial de velocidades en un fluido

[Visitante]

Alguien me podría explicar cuando existe potencial de velocidades en un fluido y por qué nos ayuda calcularlo? No encuentro nada en la red que me ayude

[Alriga]

Tengo esto un poco oxidado, pero entiendo que hay una analogía entre lo que preguntas y las magnitudes Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico del Electromagnetismo que seguramente ya has estudiado.

El campo eléctrico es una magnitud vectorial, en cada punto del espacio hay que dar "3 números" para computarlo. Por ejemplo:

$\vec E(\vec r)=(3x^2y+y^2z) \ \hat i + (x^3+2xyz) \ \hat j + (x y^2) \ \hat k$

El potencial eléctrico es una magnitud escalar, solo hay que dar un único número real en cada punto del espacio para computarlo, por ejemplo:

$U(\vec r)=-x^3 y-x y^2 z$

El potencial al ser escalar, es más sencillo que el campo que es vectorial. Y a partir del potencial siempre se puede calcular el campo hallando el gradiente (o sea derivando)

$\vec E=-\nabla U$

(El signo menos es un convenio para que el campo apunte hacia los potenciales decrecientes)

$\vec E=- \left ( \dfrac{\partial U}{\partial x} \ \hat i + \dfrac{\partial U}{\partial y} \ \hat j + \dfrac{\partial U}{\partial z} \ \hat k \right )$

En cambio, suele ser mucho más difícil calcular el potencial a partir del campo, pues hay que hacer integrales que suelen ser más difíciles que las derivadas.

Pues en esta analogía, el potencial de velocidades $\phi$ sería como el potencial eléctrico, un simple escalar en principio más sencillo de calcular que el campo de velocidades $\vec v$ que es vectorial (más complicado) Y a partir del potencial siempre es posible calcular el campo mediante el gradiente (derivando):

$\vec v=\nabla \phi$

Alguien me podría explicar cuando existe potencial de velocidades en un fluido ...

Dado un campo de velocidades, solo existirá potencial si el rotacional del campo es cero, análogamente a lo que sucede en el electromagnetismo.

$\vec \nabla \times \vec v=0 \ \longrightarrow \ \vec v=\nabla \phi$

... potencial de velocidades en un fluido ... por qué nos ayuda calcularlo? ..

Es lo que hemos comentado más arriba, puede "ayudar" calcularlo porque si existe puede ser más sencillo calcular el potencial que calcular directamente el campo.

Los flujos con potencial de velocidades se llaman "flujos irrotacionales" o también "flujos potenciales" y en ellos la ecuación de continuidad (conservación de la masa) se puede expresar de forma sencilla utilizando el potencial:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \nabla^2 \phi=0$

Un ejemplo de flujo irrotacional es el flujo laminar, mientras que no es irrotacional el flujo turbulento.

Si el flujo es potencial y además el fluido es incompresible, entonces (a partir de la ecuación anterior) se demuestra que la Laplaciana del potencial de velocidades es nula:

$\nabla^2 \phi=0$

Saludos.