1r ciclo Cuerpo sumergido en dos fluidos de densidades diferentes

[Visitante]

Tapón en el fondo de un recipiente :

El orificio en el fondo de un recipienteestásellado por un tapón cúbicode lado $a$ y densidad $d$. En el recipiente hay dos líquidos nomisciblesentre sí, de densidades $d_1$y $d_2$ respectivamente ($d_1>d_2$),como muestra la figura. La interfase entre los dos líquidos coincide con la línea AB. Si el nivel del líquido superiorestá a la misma altura del vértice superior del tapón, ¿cuál debe ser ladensidad $d_2$ mínima del líquido superiorpara que el tapón permanezcaen equilibrio?

Usando principio de arquimedes llego a que $d = d_2 / 2 +d_1 . 3/8$, esto significa que el mimino valor podria ser 0?

Saludos!

[Richard R Richard]

Hola ICO

El equilibrio se halla cuando el peso del bloque es igual al empuje que recibe.de los liquidos

$P=\rho g a^3$


observa que el líquido superior baña la mitad del volumen del cubo.

y el líquido inferior solo 3/4 del la otra mitad

$E=\rho_2g\dfrac{a^3}{2}+\rho_1g\dfrac{a^3}{2}\dfrac34$

igualando y despejando

$\rho_2=\dfrac{\rho g a^3-\rho_1g\dfrac{a^3}{2}\dfrac34}{g\dfrac{a^3}{2}}<br />$

$$\boxed{\rho_2=2\rho-\dfrac34 \rho_1}$$

como$\rho_2<\rho_1$

entonces

$\rho_1>2\rho-\dfrac34 \rho_1$

entonces

$\rho_1>\dfrac 87\rho$

para que sea posible el equilibrio, lo que resulta lógico, si como limite$\rho_1=\rho_2$ pues 7/8 del volumen estaría cubierto de liquido.

[Visitante]

Hola! Gracias por la respuesta, pero, no nos estan pidiendo la minima densidad de $\rho_2$ ?

[Richard R Richard]

Si , la calculada es la mínima, pues si es menor el cuerpo flota.
y si es mayor hace fuerza contra el fondo.
Lo que hice fue calcular el rango de valores de ambas densidades, para que exista equilibrio.

[JCB]

Hola a tod@s.

En su día no intervine en este hilo porque calculando el empuje de Arquímedes indirectamente, es decir, mediante la diferencia entre las fuerzas superiores (que actúan en las dos caras superiores) y las fuerzas inferiores (que actúan en las dos caras inferiores), obtuve un resultado del empuje que parece incorrecto. Después he seguido dándole vueltas al asunto y siempre llego a la misma conclusión, que expongo a continuación.

1) Fuerza en las caras superiores. Parto de que la fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida es igual a la presión en el cdg multiplicada por el área de la superficie.

La presión en el cdg de una cara superior, es $p_s=\rho_2g\dfrac{a}{2\sqrt{2}}=\rho_2g\dfrac{a}{\sqrt{8}}$.

La fuerza hidrostática en una cara superior, es $F_s=p_sA_s=\rho_2g\dfrac{a}{\sqrt{8}}a^2=\rho_2g\dfrac{a^3}{\sqrt{8}}$.

La componente vertical de $F_s$, es $F_{sy}=F_s\cos 45^{\circ}=\rho_2g\dfrac{a^3}{4}$.

La componente vertical debida a las dos caras, es $2F_{sy}=\rho_2g\dfrac{a^3}{2}$.

2) Fuerza en las caras inferiores.

La presión en el cdg de una cara inferior, es $p_i=\rho_2g\dfrac{a}{\sqrt{2}}+\rho_1g\dfrac{a}{4\sqrt{2}}=\rho_2g\dfrac{a}{\sqrt{2}}+\rho_1g\dfrac{a}{\sqrt{32}}$.

La fuerza hidrostática en una cara inferior, es $F_i=p_iA_i=\left(\rho_2g\dfrac{a}{\sqrt{2}}+\rho_1g\dfrac{a}{\sqrt{32}}\right)a\dfrac{a}{2}=\rho_2g\dfrac{a^3}{\sqrt{8}}+\rho_1g\dfrac{a^3}{\sqrt{128}}$.

La componente vertical de $F_i$, es $F_{iy}=F_i\cos 45^{\circ}=\rho_2g\dfrac{a^3}{4}+\rho_1g\dfrac{a^3}{16}$.

La componente vertical debida a las dos caras, es $2F_{iy}=\rho_2g\dfrac{a^3}{2}+\rho_1g\dfrac{a^3}{8}$.

Finalmente si hacemos la resta, $2F_{iy}-2F_{sy}=\rho_1g\dfrac{a^3}{8}$, que debería ser igual al empuje Arquímedes.

A ver si alguien encuentra dónde está mi error.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.