1r ciclo Duda ejercicio PAU depósito cerrado principio Bernouilli

[CARLIN]

Hola, llevo dos horas intentando resolver este ejercicio de hidráulica:

El depósito acumulador presurizado que se muestra en la figura, se utiliza
como sistema de refrigeración de emergencia en una central térmica. Está
provisto de una tubería de 30 mm de diámetro interior, que en su extremo
tiene una boquilla de 20 mm de diámetro (punto 2 del dibujo).El
manómetro del depósito marca una presión de p=75 kPa.Suponga que el
agua se comporta como un fluido ideal de densidad 1020 kg/m3. Desprecie
todas las pérdidas de energía. Considere que el nivel del agua del
depósito no cambia y tome g=9.81 m/s2. Calcule:
a) Las velocidades en los puntos 1 y 2 (v1 y v2 ) en m/s (1 punto)
b) El caudal que circula por la tubería, en L/s (0.5 puntos).
c) La presión en el punto 1 (p1) en kp/cm2(1 punto).

La ecuación de Bernouilli a la que recurrí es: P + dgh + 1/2dv^2= P + dgh + 1/2dv^2

Lo he encontrado resuelto, y ellos recurren a la siguiente. P/peso específico + h + 1/2g . v^2 = P/peso específico + h + 1/2g . v^2

No obstante, obtengo resultados diferentes, por ejemplo, para v2 yo obtuve 15,01 m/s, ellos obtienen 15,96 m/s, y ya los resultados que obtengo en los siguientes apartados se disparan por esa diferencia inicial. Quisiera que hiciesen los cálculos para ver si me equivoqué yo o ellos, yo tomé el punto 3 (el nivel más alto del agua, donde v=0) y lo comparé con el 1 y el 2, h3 tomé 5,5 m y h2= 1,5 m, y apliqué la primera ecuación de Bernouilli que puse, ellos la segunda.

Aquí les dejo el enlace del examen resuelto, es la opción A, ejercicio 3.

http://www.gobiernodecanarias.org/op...2014_Julio.pdf

Muchas gracias y disculpen la molestia.

[kuvala]

Re: Duda ejercicio PAU depósito cerrado principio Bernouilli

Hola Buenas :

Para que obtengas el resultado que aparece en la resolución, quizás la clave sea considerar inicialmente que hay una membrana en el punto 2 (de modo que no deja escapar nada de agua, por lo que todo el líquido estaría en reposo y se usaría la aproximación hidrostática) y que en un momento dado, la membrana se rompe y sale el líquido hacia el exterior.

Dicho esto, vamos a desarrollarlo. Yo tengo por costumbre poner el nivel de referencia de altura en la superficie más baja, para que así todas las alturas tengan valores positivos. Por tanto, el nivel z=0 estará en el punto 2.

Consideración hidrostática (antes de romper la membrana)
Voy a poner un punto adicional A en la base del depósito, a la altura del punto 1.

La ecuación general de la hidrostática puede escribirse como $P_f-P_i=\rho g(h_i-h_f)$
donde los subíndices $f$ e $i$ indican final e inicial.

Por tanto,

$$P_A=P_D+\rho g(h_1-h_2)$$

$$P_2=P_1+\rho g(h_2-0)$$

siendo $h_1=5.5 m$, $h_2=1.5 m$ y $P_D=P_d+P_a$, donde $P_d$ es la presión manométrica del depósito (la del enunciado) y $P_a$ la presión ambiental (del exterior). Este último dato lo desconocemos, pero se ve más adelante que es innecesario.

Consideración dinámica (la membrana se rompe)
En este momento, la membrana se ha roto, de modo que $P_2=P_a$.
Aplicando la ecuación de Bernouilli:

$P_A=P_1+\frac{1}{2 }\rho v_1^2$


Sustituyendo (1) en lo anterior, se llega a

$P_D+\rho g(h_1-h_2)=P_1+\frac{1}{2 }\rho v_1^2\qquad \Rightarrow \qquad P_1=P_D+\rho g(h_1-h_2)-\frac{1}{2 }\rho v_1^2$


Sustituyendo $P_1$ en (2) y teniendo en cuenta que la membrana se ha roto ($P_2=P_a$) y que $P_D=P_d+P_a$, llegamos a

$P_a=\underbrace{P_D+\rho g(h_1-h_2)-\frac{1}{2 }\rho v_1^2}_{P_1}+\rho gh_2 \qquad \Rightarrow \qquad 0=P_d+\rho gh_1-\frac{1}{2 }\rho v_1^2$

llegando a

$\dst v_1=\sqrt{2\frac{P_d+\rho gh_1}{\rho }}$,

donde se sustituyen los valores del enunciado y $h_1=5.5 m$, se obtiene $v_1=15.968 \frac{m}{s }$


Espero que te sirva.

Un Saludo

[Richard R Richard]

Re: Duda ejercicio PAU depósito cerrado principio Bernouilli

Hola fighter creo que kuvala te lo ha dejado resuelto perfecto, solo quiero puntualizar sobre

La ecuación de Bernouilli a la que recurrí es: P + dgh + 1/2dv^2= P + dgh + 1/2dv^2

Lo he encontrado resuelto, y ellos recurren a la siguiente. P/peso específico + h + 1/2g . v^2 = P/peso específico + h + 1/2g . v^2

en mi carrera de ingeniería hace años siempre use la version de la ecuación de Bernoulli de esta segunda forma en la que todos los términos de la suma estan expresados en metros

$h+\dfrac P{\gamma}+\dfrac{v^2}{2g}=Cte$asi

$h$ es la altura de la cota de fluido en metros con respecto al sistema de referencia que elijas, positivo hacia arriba.

$\dfrac P{\gamma}$ es altura de presión, es la altura que se eleva un líquido de paso especifico de valor $\gamma$ cuando lo sometes a la presión P

$\dfrac{v^2}{2g}$ altura de velocidad, es la cota máxima que puede alcanzar un líquido que tiene la velocidad $v$

la suma de las tres alturas, es una constante para todo sistema que tenga continuidad en el flujo de fluido, es decir mientras haya una línea de flujo entre dos puntos , en este caso la indicación del manómetro, con el punto 1 o con el 2

Así la presión del manómetro $P_m$ esta considerada como la presión del recinto mas la atmosferica.y como el tanque es grande y el nivel no desciende su velocidad la consideras nula $V_{Tanque-agua}=0$

Luego

$$h_{agua}+\dfrac{P_m}{\gamma_{agua}}+\dfrac{V_{Tanque-agua}^2}{2g}= h_1+\dfrac{P_1}{\gamma_{agua}}+\dfrac{V_1^2}{2g}$$

aqui las incognitas son la $v_1$pero tambien la presión $P_1$.

fijate que cuando haces el despeje te queda uno de los terminos $\dfrac{h_{agua}-h_1}{\gamma_{agua}}$ la diferencia de altura es independiente de como hayas elegido el 0 del sistema de referencia, lo unico que debes tener cuidado es de elegir siempre el sistema en que h aumenta hacia arriba,( en contra de la gravedad)

para el punto 2 repites la ecuación pero ahora expresas todo con los datos del punto dos donde tienes 1.5 m mas de altura de cota

$$h_{agua}+\dfrac{P_m}{\gamma_{agua}}+\dfrac{V_{Tanque-agua}^2}{2g}= h_2+\dfrac{P_2}{\gamma_{agua}}+\dfrac{V_2^2}{2g}$$

Aqui ya tienes que $P_2$ es la presión atmosferica, por lo que la velocidad se despeja facil

para hallar la velocidad en 1 puedes usar la relación de caudales ya que el caudal en el punto 1 es igual a la del punto 2

$$Q=v_1S_1=v_2S_2=v_1\dfrac{\pi D_1^2}{4}=v_2\dfrac{\pi D_2^2}{4}$$

con esta formula tambien ya tienes el punto b

y luego reemplazas este valor de velocidad de la formula 3 en la formula 1 y obtienes la presión 1

[CARLIN]

Re: Duda ejercicio PAU depósito cerrado principio Bernouilli

Muchas gracias