Ejercicio mediante Hardy-Cross (Hazen-Williams) solución

[cogujada]

Hace tiempo (abril) subí un ejercicio de Hardy Cross (mediante Hazen-Williams) que me borraron por adjuntar el enunciado. Dicho ejercicio lo vio JCB , y me comentó por privado que no tenía ni idea de resolver un problema mediante el método de Hardy Cross en conducciones abiertas. Así, decidí pedir una tutoría a mi profesora, y eso hice.

Cuando las conducciones son cerradas, es relativamente sencillo utilizar el método de Hardy-Cross, pero en este caso, la red no era cerrada. Transcribo el enunciado:

En la siguiente figura se presenta una red de abastecimiento de agua constituida por 4 tabiques que conectan 4 depósitos A, B, C y D, todos ellos
abiertos a la atmósfera. Los niveles de agua en todos los depósitos permanecen constantes en los valores que se indican en la Figura:

Calcular, aplicando el método de Hardy-Cross, los caudales que circulan por cada una de las conducciones, indicando su sentido.
Datos:
En la siguiente Tabla se indican los datos de las diferentes conducciones:

CONDUCCIÓN	LONGITUD (m)	DIÁMETRO (m)	COEFICIENTE C
EA	1200	0.4	100
EB	600	0.2	100
EC	1500	0.25	130
ED	6000	0.3	90

Utilice la ecuación de Hazen-Williams para el agua

En este caso, al haber depósitos (siendo la red abierta), se consideran conducciones imaginarias que cierran el circuito uniendo los depósitos con una pérdida de carga igual a la carga de presión + carga potencial (carga hidráulica). Aquí está el quid de la cuestión.

Para completar un poco el tema y dejarlo zanjado:

1. Si nos encontrásemos accidentes (válvulas, uniones, juntas, codos, etc.), se consideran “conducciones” con una pérdida de carga igual a la de una conducción que presenta su misma longitud equivalente
2. Si nos encontrásemos bombas, se consideran “conducciones” con una pérdida de carga igual a menos la ganancia de energía que la bomba provoca.

Espero que haya quedado más claro el tema y espero haber ayudado a futuros estudiantes (y también a profesores como JCB

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias cogujada por dar las indicaciones de cómo resolver redes abiertas por Hardy Cross (sin guion, pues se trata de una sola persona). Cuando disponga de tiempo me pondré a resolver (o al menos intentarlo) el ejercicio propuesto. Por otra parte te aclaro que mi oficio no es el de profesor (labor encomiable y a la cual admiro). En todo caso, soy un aprendiz de muchas cosas y también un aficionado a la Física.

Nota: de todas maneras, creo que haría falta saber la altura del punto E.

Saludos cordiales,
JCB.

[cogujada]

Disculpa no sé de dónde me he sacado que eres profesor.

En cuanto a la altura del punto E, no es necesario, tan solo es necesario conocer las distintas alturas entre los depósitos.

Si quieres resuélvelo y lo comparo con las respuestas que he obtenido yo.

Muchas gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Después de darle bastantes vueltas al asunto, he llegado a los siguientes resultados (valores redondeados), que deben tomarse con las debidas reservas, pues no tengo la certeza de que sean correctos:

$Q_{AE}=143\ l/s$.

$Q_{BE}=0\ l/s$.

$Q_{EC}=79\ l/s$.

$Q_{ED}=64\ l/s$.

A continuación, describo el procedimiento utilizado. Como no he acabado de entender lo que explicaba cogujada, he hecho lo siguiente:

- He supuesto el sentido del flujo de agua de A a E, de B a E, de E a C y de E a D.

- Aplico la expresión de Bernoulli (en alturas) entre los puntos anteriores, llegando a que las pérdidas de carga en cada tubería son $h_{AE}=z_A-H_E$, $h_{BE}=z_B-H_E$, $h_{EC}=H_E-z_C$ y $h_{ED}=H_E-z_D$, donde $h$ es la pérdida de carga en cada tramo considerado, $z$ es la altura geodésica de cada punto considerado, y $H_E$ es la energía total en altura (presión, geodésica y velocidad) del punto E. Las pérdidas de carga quedan en función de la altura total del punto E.

- Ahora aplico la fórmula empírica de Hazen – Williams (esta vez sí, con guion, ya que se trata de dos personas), para cada tramo, $Q=0,2787\cdot C\cdot D^{2,63}\cdot\left(\dfrac{h}{L}\right)^{0,54}$. En esta expresión todo es conocido menos $h$.

- Con Excel y considerando la conservación del caudal (el caudal de salida debe ser igual al caudal de entrada), llego a que la energía total en altura del punto E es de $34\ m$, y a los resultados de los caudales indicados al principio del mensaje.

cogujada: te agradecería que publicases tus resultados, así como el método empleado.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La verdad hace mucho tiempo que no hago nada de esto, pero les paso mi punto de vista para ver si coinciden

el Punto E es un punto de igual energía para todas las tuberías en ese punto si no hay entradas o sumideros

$\dst\sum Q_i=0$ primera de las ecuaciones útiles $Q_A+Q_B=Q_C+Q_D$ ya explicaré porqué

luego podemos aplicar la ecuación de Bernoulli para igualar las energías entre puntos sobre la superficie de cada recipiente, elegimos un punto de referencia cualquiera o útil para evaluar las cotas z.
como todos los recipientes están a la presión atmosférica, la podemos despreciar en las ecuaciones de Bernoulli ya que aparece en todas la igualdades. y la velocidad de descenso y ascenso del nivel de las superficies lo suponemos nula o despreciable, frente a la velocidad dentro de la tubería debido a la mayor sección de los recipientes.

tambien pueden ver la relación entre el caudal obtenido por Hazem Williams HW y el de Darcy Weisbach DW en función del número de Reynolds o sin él en


http://scielo.sld.cu/scielo.php?scri...82019000300041


de donde las pérdidas de carga en cada tubería quedan


$z_{pi}=10.672\dfrac{L_i}{D_i}\left(\dfrac{Q_i}{C_{HW_i}}\right)^{1.854}$

por lo que podemos establecer tres igualdades más y con ello resolver un sistema 4 x 4 donde las incógnitas son los caudales

A simple vista se puede uno dar cuanta que los depósitos A y B son los que aportan flujo al punto E y los depósitos C yD reciben este flujo, pero bueno es solo un eleccion mia, hay que ver si el sentido que adopto para cada caudal se cumple si alguno queda negativo habrá que invertirlo y recalcular.


Las igualdades serían

$z_A-10.672\dfrac{L_A}{D_A}\left(\dfrac{Q_A}{C_{HW_A}}\right)^{1.854}=z_B-10.672\dfrac{L_B}{D_B}\left(\dfrac{Q_B}{C_{HW_B}}\right)^{1.854}=z_C+10.672\dfrac{L_C}{D_C}\left(\dfrac{Q_C}{C_{HW_C}}\right)^{1.854}=z_D+10.672\dfrac{L_D}{D_D}\left(\dfrac{Q_D}{C_{HW_D}}\right)^{1.854}$


Saludos

PD AGREGO para hallar $Q_A$ sacaría los $Q_i$en funcion de $Q_A$

haría

$Q_A=Q_C+Q_D-Q_B=$

donde cada caudal sale en funcion de $Q_A$ haciendo

$Q_i=\left[\dfrac{\left((z_A-z_i)\pm10.672\dfrac{L_A}{D_A}\left(\dfrac{Q_A}{C_{HW_A}}\right)^{1.854}\right)D_i C_{HW_i}^{1.854}}{10.672 L_i}\right]^{\frac{1}{1.854}}$

Luego queda despejar , $Q_A$, que después de tanto rollo es una ecuación lineal y se despeja fácilmente , una vez hallada $Q_A,$ se reemplaza en cada igualdad y salen los $Q_i$

hay que verificar que cada $Q_i$ sea positivo, ya que sino las perdas de carga estarian mal calculadas...


Espero el posteo de cogujada con la solución que ya tiene, para ver si andamos rumbeados...

[cogujada]

Hola, la verdad es que no pensé que fuese a causar tantos problemas. A mí me los causó, cuando termine el último examen (8 de julio), me comprometo a explicar detalladamente el procedimiento.
He de decir que ninguno de vosotros lo hace para nada parecido a mí. Eso no significa que lo vuestro esté bien y lo mío mal (o viceversa). A ver si cuando explique mi método y dé mis resultados podemos llegar a una conclusión.
Gracias