Hallar la tendencia barométrica

[kerosect]

Buenas a todos,

Me han surgido algunas dudas al intentar resolver el siguiente ejercicio:

Un observador de una ciudad A decide desplazarse hacia otra ciudad B que se encuentra al N de la ciudad A, a una velocidad de 20 km/h. Si la presión en superficie aumenta hacia el NW en 3 Pa/km. ¿Cuál será la tendencia barométrica que se mida en un observatorio de A si el observador se ha llevado un barómetro que mide una disminución de la presión de 100 Pa/3h.

He planteado el problema desde un punto de vista euleriano. De tal forma que tengo:
$\dfrac{\partial P}{\partial t} = \dfrac{dP}{dt}-v \nabla P$

donde el primer término sería la variación local que entiendo que es lo que nos están preguntando.

Mi duda viene en los signos, ya que lo que me está pidiendo es lo que se mide en la ciudad A, no en la ciudad B. Entiendo, que el término de la variación sustancial, dP/dt sería positivo para la ciudad A. De no ser así, me gustaría si alguien pudiese argumentarlo. Luego si yo tomo el N como el eje y así como el E como el eje x. Me queda que el gradiente apunta formando 45º en el segundo cuadrante. Es decir, quedando el siguiente par de signos en las componentes:

$(\partial p / \partial x, \partial p / \partial y)=(-,+)$

La duda fundmental que se me presenta es si yo debo de modificar los signos de los terminos de la expresión al querer el valor medido en la ciudad A. Y de ser así en que términos. Ya que no estoy del todo seguro del porqué.

Gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Hola la dirección es nor oeste NW abreviado en ingles así tiene direccion $-3\cos45 \vec i+3\sin45 \vec j$, corregido y tiene que evaluarlo en el punto que esta a 3 h es decir a 60km de donde partió solo al norte, si en esas 3 h cayeron 100Pa por lo que la derivada direccional en direccion norte es negativa. tiene que caer $\dfrac{100Pa}{3h20km/h \sin 45}$

[kerosect]

Hola la dirección es nor oeste NW abreviado en ingles así tiene direccion $3\cos45 \vec i+3\sin45 \vec j$, y tiene que evaluarlo en el punto que esta a 3 h es decir a 60km de donde partió solo al norte, si en esas 3 h cayeron 100Pa por lo que la derivada direccional en direccion norte es negativa. tiene que caer $\dfrac{100Pa}{3h20km/h \sin 45}$

Gracias por contestar. Pero no veo claro lo que me has contestado. No se si estoy hecho un lio, pero no lo veo. Yo entiendo que los 100 Pa/3h hacen referencia a la derivada total o sustancial. Es decir dP/dt. El término dela derivada dirección o de advección. Has tomado el N en la dirección x y el W en la dirección y? Sino como es que las dos componentes salen positivas? Es decir el seno y el coseno positivo?


De ser así. Imagino que tendríamos en esa última parte $(20,0) \cdot (\partial p/ \partial x, \partial p / \partial y)$. Y es en esas derivadas parciales donde tengo dudas con el signo. Entiendo que serían 3 cos(45º) y 3 sin(45º) respectivamente. Según lo que m has dicho el menos sería solo en la dirección norte. Es decir:

$\dfrac{\partial p}{\partial t} = \dfrac{100}{3} - (20,0) \cdot (-3 cos(45º), 3 sin(45º))$

Supongo que no es así, ya que has usado el seno, pero no comprendo como has descompuesto la dirección NW. Ya que si el N está en el eje y mientras que el W está en la dirección -x. Tendríamos:

$\dfrac{\partial p}{\partial t} = \dfrac{100}{3} - (0,20) \cdot (3 cos(45º), -3 sin(45º))$


A no ser que hayas considerado positivo hacia la izquierda. Es decir en la dirección W. De todos modos me queda la duda de ese signo en la dirección N.
Gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Hola he corregido el gazapo del signo para que tenga direccion Oeste.

[Richard R Richard]

No estoy muy familiarizado con la formula que propones de calculo, pero si se trata de la derivada total, espero coincidamos en lo que interpreto en cual es la derivada parcial respecto del tiempo y cual la total.



$\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{d P}{d t}+\dfrac{\partial \vec P}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial \vec x}{\partial t}=\dfrac{dP}{ dt}+\nabla \vec P\cdot \vec v$

y ahora si

$-33.3Pa/h=\dfrac{dP}{d t}+ (-3Pa/km \cos(45º), 3Pa/km \sin(45º)) \cdot(0,20km/h)=\dfrac{\partial P}{\partial t}+ 42.426Pa/h=$

luego $\dfrac{d P}{dt}=-75.759Pa/h$

[kerosect]

De acuerdo. Sí, la total serían los -33.3 Pa/h y la parcial con el tiempo es lo que nos preguntan. Lo único que la solución propuesta es lo mismo que te ha salido a ti pero con signo positivo. Por lo que yo entendí inicialmente que se debía cambiar el signo al preguntarte sobre lo que se medirá en la ciudad A. Entiendo que la derivada total cambia de signo, ya que si has medido yendo a B que desciende en A debe de aumentar. Pero en el término advectivo, no sé cómo se modifica el signo físicamente hablando.


La fórmula que uso es lo que se llama la derivada material: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_material

[Richard R Richard]

Hola fijate que lo que te dan como dato es la diferencia de presiones entre A y B , que dicese ser menor que cero pues la presión en B es menor que en A, Pero también te dice que la presión tiene que aumentar si recorres ese camino de A hacia B, por lo tanto el cambio de presión en A debe ser mayor en modulo pero de signo negativo, para que aun aumentando en el viaje ese valor llegue a B siendo aun negativo.

fijate que en wiki te dicen

$\dfrac{\mathrm{D} y}{\mathrm{D}t} \equiv \dfrac{\partial y}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla y,$

pero nosotros conocemos el termino izquierdo, el producto escalar de la derecha por lo que hacemos el pasaje de términos para despejar

$\dfrac{\mathrm{D} y}{\mathrm{D}t}- \mathbf{u}\cdot\nabla y \equiv \dfrac{\partial y}{\partial t}$ ,

los dos valores ahora a la izquierda resultan ser negativos, por tanto se suman en modulo y mantienen el signo negativo.

[kerosect]

Efectivamente, estoy de acuerdo con lo que expones. En B la derivada material debe de ser menor que 0 (negativa). Por lo que si el gradiente es positivo (ya que aumenta hacia el NW) no queda más remedio que la derivada parcial respecto el tiempo sea negativa. Y todo cuadra. Ahora bien, el enunciado pide el valor en A. Entiendo que lo que me has expuesto seria en B. No sé si podría ir por ahía el cambio de signo presente en las soluciones.

Dicho de otra forma. Lo que hemos calculado seria lo que un instrumento mediría en la ciudad B, correspondiente a la variación local de la presión con el tiempo en la ciudad B. Que como hemos dicho tiene que ser negativa. Ya que es la única posibilidad si la total aumenta.

¿Qué opinas?

[Richard R Richard]

Hola tu no sabes lo que el instrumento mide en A ni en B, solo sabes cuanto es la diferencia entre A y B , lo que has calculado es lo que debe cambiar la presión con respecto al tiempo tanto en A como en B (es independiente de la posición) y lo haces sabiendo que la presión cambia en función de la posición de acuerdo a un gradiente en coordenadas espaciales que hemos respetado y descontado en el calculo.