Flujo en un canal rectangular

[Valeeen]

Buenos días, estoy intentando resolver el problema del flujo laminar de un fluido en un tubo de seccion transversal rectangular. Para esto debería poder resolver el problema

$\frac{\partial^2 v_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v_z}{\partial y^2}=-\frac{\Delta P}{\mu L}$

con las condiciones de borde de que $v_z(a/2,y)=v_z(-a/2,y)=v_z(x,b/2)=v_z(x,-b/2)=0$. Ahora, no estoy viendo como puedo resolver el problema, y no se si es que simplemente estoy bloqueado, o que es difícil en sí.
Agradecería la ayuda.

[delmar7]

Hola


La incógnita es una función de dos variables, que cumple una ecuación diferencial con derivadas parciales, es la ecuación de Laplace no homogénea, con las condiciones de frontera mostradas. La solución análitica es complicada y significa matemáticas avanzadas; otra alternativa muy válida es la solución usando métodos numéricos se ha de discretizar la sección transversal y aproximar por diferencias finitas las derivadas o usar el método de elementos finitos, en estos momentos tengo poco tiempo y estoy lejos de esos temas; para fines prácticos la solución numérica es la mejor.



Saludos

[Valeeen]

Gracias por la respuesta. De hecho he visto que se puede resolver utilizando expansiones en series de Fourier, pero hay algo que no me convence en utilizar dicho método, y es que la solución termina siendo algo de la forma

$v_z(x,y)=\frac{a^2 \Delta P}{\pi ^3 \mu L} \sum_{n=1,3,5,...}^{\infty} \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^3}\left[1-\frac{cosh(\frac{n\pi y}{a})}{cosh(\frac{n\pi b}{a})}\right]cos(\frac{n\pi x}{a})$

la cual es una formula que no es simétrica ante el cambio de x por y cuando a=b, lo cual no me parece que este muy bien.

[delmar7]

En efecto la solución se relaciona con series de fourier, la cual es convergente. En el caso que a=b, se tiene que el problema es simétrico para los ejes coordenados X e Y, y en consecuencia lo que se espera es que la solución sea la misma para los puntos $v_z(x,y)=v_z(x,-y)=v_z(-x,y)=v_z(-x,-y)$ y eso SI se da se puede verificar una pista el $cos (\alpha)= cos (- \alpha)$ y $cosh (\alpha)=cosh(-\alpha)$

Saludos