Otras carreras La matriz de deformación es una aproximación?

[danielandresbru]

Hola buenas tardes, he estado viendo de viene la matriz de deformación y he visto de donde sale la expresión

$\vec{dr^*}=\vec{dr}+\bold{M} \vec{dr}$

donde:

$\vec{dr}$ es un vector que va de un punto P a un punto Q de su entorno
$\vec{dr}$ es un vector que va de un punto P' a un punto Q' ( P' es el punto P desplazado por una funció f, y Q' es Q desplazado por f)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la matriz diferencial de la función de desplazamientos f





Ahora mi pregunta viene cuando se separa la matriz M en $\bold{M}=\bold{H}+\bold{D}$
$\vec{dr^*}=(\bold{I}+\bold{H})\vec{dr}+\bold{D} \vec{dr}$ (I matriz identidad, D matriz simetrica, H matriz antisimetica)

y se dice que la matriz I+H representa el giro como si fuera un sólido rígido y la D la deformación

para demostrar esto se parte de la propiedad que tienen las matrices ortonormales (que al multiplicar una matriz ortonormal por un vector da otro vector con el mismo módulo, un giro)

Entonces la demostración consiste en hacer ver que I+H es ortormal

$\bold(I)=(\bold{I}+\bold{H})(\bold{I}+\bold{H})^T$ $=(\bold{I}+\bold{H})(\bold{I}^T+\bold{H}^T)=(\bold{I}+\bold{H})(\bold{I}+\bold{H}^T)$ $=\bold{I}^2+(\bold{H}+\bold{H}^T)\bold{I}+\bold{H}\bold{H}^T$

y como H es antisimétrica $\bold{H}^T=-\bold{H}$

$=\bold{I}=\bold{I}+(\bold{H}-\bold{H})\bold{I}-\bold{H}^2= \bold{I}-\bold{H}^2$

Ahora lo que no entiendo de la demostración es que sale que como la matriz H tiende a 0, queda demostrado que (I+H) es ortormal




Pero la matriz H es ${\bold{H}}_{ij} =\frac 12 \big ( \frac{\partial}{\partial x_j}f_i -\frac{\partial}{\partial x_i}f_j \big)$ es decir esta compuesta por derivadas (valores reales, puede ser un número cualquiera) no tiene porque ser un número tan pequeño que tienda a cero


Mi pregunta entoces es: Es cierto que la matriz H esta formado por numeros muy pequeños del orden de 0.001-0.000001 asÍ que aunque $(\bold{I}+\bold{H})(\bold{I}+\bold{H})^T\neq\bold{I}$, $(\bold{I}+\bold{H})(\bold{I}+\bold{H})^T\approx\bold{I}$

Así que se cumpliría la teoría de la elasticidad solo para valores muy pequeños (suponiendose que no hubiera lìmite elástico)
o esta no es la mejor demostración que hay?


Muchas gracias de antemano!