1r ciclo Energia liberada por la explosión.

[jssln]

He encontrado este ejercicio que me parece muy interesante, pero no sé como plantearlo.

En los años 50 del siglo XX, la energía liberada por una explosión nuclear era materia clasificada. Sin embargo, el ejercito de los EEUU facilitó películas que muestran el hongo nuclear. Usando análisis dimensional, el físico G.I. Taylor dedujo la energía liberada por la explosión asumiendo que el radio R de la nube depende únicamente del tiempo t transcurrido desde la explosión, de la energía E liberada y de la densidad $\rho$ del aire alrededor de la nube. Demostrar que bajo estas hipótesis $R \propto {t}^{ \beta}$ , encontrando el exponente $\beta$.
En la figura tenemos una serie de fotogramas para distintos valores de t. Sabiendo que la escala es la misma en todos los fotogramas y que coresponde a 4 Km x 2.5 KM verificar si la ley encontrada para R (t) es coherente con las imágenes. Se pide estimar la energía liberada por la bomba, sabiendo que el valor de la densidad del aire $\rho \cong 1.3 kg {m}^{-3 }$

[Visitante]

Re: Energia liberada por la explosión.

Taylor propone que $R(t)$ tiene la forma $R(t) = \frac{{E^\alpha}{t^\beta}}{\rho^\gamma}$.

$\rho$ divide porque intuyo que la densidad del gas envolvente resiste la expansión de la nube.

Los exponentes habría que determinarlos por análisis dimensional (reemplazando magnitudes por unidades de masa, longitud y tiempo):

$mts = \frac{{Joules}^\alpha \times {seg}^\beta}{(kg / {mts}^3)^\gamma} = \frac{(kg \times {mts}^2 / {seg}^2)^\alpha \times {seg}^\beta}{(kg / {mts}^3)^\gamma}$

Hallar $\alpha, \beta, \gamma$ para que la ecuación sea consistente.

Saludos

[Ulises7]

Re: Energia liberada por la explosión.

Taylor propone que $R(t)$ tiene la forma $R(t) = \frac{{E^\alpha}{t^\beta}}{\rho^\gamma}$.

$\rho$ divide porque intuyo que la densidad del gas envolvente resiste la expansión de la nube.

Una nota, este es el resultado y se puede obtener haciendo análisis dimensional de:

$R \propto E^\alpha t^\beta \rho^\gamma$

No se tiene porqué intuir a priori que el radio y la densidad del aire son inversamente proporcionales, es una consecuencia del análisis dimensional (aunque por supuesto siendo G.I. Taylor experto en ondas de choque ya conocía a priori esta dependencia por motivos físicos).

Si realizas el cálculo de la energía obtendrás de media unos 20 kilotones, cerca del valor de 25 kilotones que obtuvo G.I. Taylor (aunque se considera que la explosión fue de unos 20, pero es clasificada).

[Visitante]

Re: Energia liberada por la explosión.

No se tiene porqué intuir a priori que el radio y la densidad del aire son inversamente proporcionales, es una consecuencia del análisis dimensional (aunque por supuesto siendo G.I. Taylor experto en ondas de choque ya conocía a priori esta dependencia por motivos físicos).

No es necesario pero al ser un ejercicio de estimación quise adelantarme al resultado.

Matemáticamente es indistinto mientras $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$, no perdemos generalidad.

[JCB]

Re: Energia liberada por la explosión.

Hola a todos.

A partir del post de Alriga (04-02-19) en el hilo “Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)”, y de este interesante artículo “https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_%CF%80_de_Vaschy-Buckingham”, he hecho mis cuentas, a ver que os parece:

$f(R, E, t, \rho)=0$.

$[R]=L, [E]=ML^2T^{-2}, [t]=T, [\rho]=ML^{-3}$.

$K=E^at^b\rho^cR$,

$M^0L^0T^0=(ML^2T^{-2})^aT^b(ML^{-3})^cL$,

$M^0L^0T^0=M^{a+c}L^{2a-3c+1}T^{-2a+b}$.

$a+c=0$,

$2a-3c+1=0$,

$-2a+b=0$, despejando: $a=\dfrac{-1}{5}, c=\dfrac{1}{5}, b=\dfrac{-2}{5}$,

$\boxed{R=\dfrac{KE^{1/5}t^{2/5}}{\rho^{1/5}}}$

Saludos cordiales,
JCB.