Secundaria vaciado de un deposito

[carla]

Soy nueva en el foro. Tengo que resolver un problema pero siento que me faltan datos y no se por donde empezar. Ojalá me puedan echar una mano.

Solo tengo estos datos: un grifo llena un deposito en 30 minutos.
el deposito se vacia a traves de su desague en 8 minutos.
Caudal de entrada y de salida constantes.
Necesito averiguar el tiempo que tarda en vaciarse el deposito lleno, si al abrir el desague del mismo, el grifo que vierte agua sigue abierto.

[Ulises7]

Re: vaciado de un deposito

Soy nueva en el foro. Tengo que resolver un problema pero siento que me faltan datos y no se por donde empezar. Ojalá me puedan echar una mano.

Solo tengo estos datos: un grifo llena un deposito en 30 minutos.
el deposito se vacia a traves de su desague en 8 minutos.
Caudal de entrada y de salida constantes.
Necesito averiguar el tiempo que tarda en vaciarse el deposito lleno, si al abrir el desague del mismo, el grifo que vierte agua sigue abierto.

Bueno pues que yo sepa no te faltan datos ( para calcular el tiempo pero sí para el caudal ), lo que pasa es que este problema lo veo más de matemáticas que de física, si te preguntan por el caudal hay 2 formas diferentes ( pero iguales ) de averiguarlo una es conocer el volumen y el tiempo:

$Q = V / t$

La otra es conocer la velocidad ( v ) de salida del líquido y la superfície:

$Q = v . S$

Pero como lo que te preguntan es el tiempo conociendo lo que se tarda en llenar el depósito y lo que se tarda en vaciar, tenemos en cuenta que en un comienzo el depósito está lleno asi que el tiempo necesario para que se vacie será la suma de lo que tardaria si está lleno y no se continua derramando agua ( este dato lo conocemos ) más el tiempo que tarda en vaciarse el agua que se ha llenado mientras se vaciaba lo anterior asi que:

lo pasamos a segundos:

30 min = 1800 s y 8 min = 480 s

la expresión comentada anteriormente es:
$<br /> T = t(a) +t(b)$

Donde T es el tiempo que buscamos, t(a) es el tiempo que tarda en vaciarse el deósito lleno y t(b) es el tiempo que tarda en vaciarse lo que se ha ido llenando, sustituimos:
$<br /> T = 480 s + 480 . 480 / 1800 = 480 s + 128 s = 608 s<br />$
teniendo en cuenta que la expresión 480 / 1800 en t(b) corresponde al hecho de lo que tarda en llenarse el depósito conociendo que se llena en 1800 completamente pero solo tenemos 480 s.

Respecto al caudal nos falta información, mas que nada el volumen.

saludos

[Trucao]

Re: vaciado de un deposito

Si supone que el caudal de salida es constante, está suponiendo que la velocidad de salida del fluido no depende de la cantidad del mismo en el interior del depósito.
Es poco realista a no ser que supongamos que hay una bomba que trabaja a ritmo constante. Bueno, da igual.
Suponiendo constancia en los caudales el problema se puede plantear de otra forma.

Tenemos un depósito que hemos tardado 30 mins en llenarlo. Al abrirlo, se vacía en 8 mins. Si repetimos la operación con el grifo de entrada abierto, al cabo de 8 minutos nos quedará un volumen de fluido igual a 8/30 veces el volumen del depósito, ya que el caudal de entrada es 8/30 veces menor que el caudal de salida. El tiempo para vaciarlo será de 8/30 veces el tiempo de salida del fluido que ocupaba todo el depósito, es decir, 8/30 multiplicado por 8 minutos. Ahora repetimos el proceso de forma sucesiva, de manera que el volumen total hasta el vaciado completo es una serie como la que sigue:

Volumen Total = Vo + Vo*8/30 + Vo*8/30*8/30 + etc
donde Vo es el volumen del depósito.

Si sacamos el factor común (Vo) tenemos

1 + 8/30 + 8/30*8/30 + etc

Esto es una serie geométrica en la que en cada proceso el volumen a vaciar es 8/30 veces el volumen anterior.
En este caso, la razón entre dos términos consecutivos es menor que 1, por lo que la suma de la serie no diverge dando como resultado
$<br /> \sum_{0}^{n}z^{n}=\frac{1}{1-z}=1'363636..<br />$

siendo $z=\frac{8}{30}$ y $n$ un número natural que va desde 1 hasta infinito.

El volumen total sería:
$<br /> <br /> V_{total} = V_0[\sum_{0}^{n}\frac{8^n}{30^n}]<br />$

$V_{total} = 1'4\times V_0$

Y como los caudales los suponemos constantes, la razón entre los tiempos de vaciado y los volúmenes es lineal, es decir, el doble de volumen tarda el doble de tiempo en ser vaciado. En nuestro caso, un 40% más de volumen implicará un 40% más de tiempo de vaciado. Si tarda 8 minutos (480 segundos) en vaciar un volumen $V_0$, tardará $480 +480\times 0'4 = 11$ mins y $12$ segundos con el grifo de entrada y salida abiertos.

En fin, cualquier duda o corrección serán bien recibidas.
Saludos

[Ulises7]

Re: vaciado de un deposito

Si supone que el caudal de salida es constante, está suponiendo que la velocidad de salida del fluido no depende de la cantidad del mismo en el interior del depósito.
Es poco realista a no ser que supongamos que hay una bomba que trabaja a ritmo constante. Bueno, da igual.
Suponiendo constancia en los caudales el problema se puede plantear de otra forma.

Tenemos un depósito que hemos tardado 30 mins en llenarlo. Al abrirlo, se vacía en 8 mins. Si repetimos la operación con el grifo de entrada abierto, al cabo de 8 minutos nos quedará un volumen de fluido igual a 8/30 veces el volumen del depósito, ya que el caudal de entrada es 8/30 veces menor que el caudal de salida. El tiempo para vaciarlo será de 8/30 veces el tiempo de salida del fluido que ocupaba todo el depósito, es decir, 8/30 multiplicado por 8 minutos. Ahora repetimos el proceso de forma sucesiva, de manera que el volumen total hasta el vaciado completo es una serie como la que sigue:

Volumen Total = Vo + Vo*8/30 + Vo*8/30*8/30 + etc
donde Vo es el volumen del depósito.

Si sacamos el factor común (Vo) tenemos

1 + 8/30 + 8/30*8/30 + etc

Esto es una serie geométrica en la que en cada proceso el volumen a vaciar es 8/30 veces el volumen anterior.
En este caso, la razón entre dos términos consecutivos es menor que 1, por lo que la suma de la serie no diverge dando como resultado
$<br /> \sum_{0}^{n}z^{n}=\frac{1}{1-z}=1'363636..<br />$

siendo $z=\frac{8}{30}$ y $n$ un número natural que va desde 1 hasta infinito.

El volumen total sería:
$<br /> <br /> V_{total} = V_0[\sum_{0}^{n}\frac{8^n}{30^n}]<br />$

$V_{total} = 1'4\times V_0$

Y como los caudales los suponemos constantes, la razón entre los tiempos de vaciado y los volúmenes es lineal, es decir, el doble de volumen tarda el doble de tiempo en ser vaciado. En nuestro caso, un 40% más de volumen implicará un 40% más de tiempo de vaciado. Si tarda 8 minutos (480 segundos) en vaciar un volumen $V_0$, tardará $480 +480\times 0'4 = 11$ mins y $12$ segundos con el grifo de entrada y salida abiertos.

En fin, cualquier duda o corrección serán bien recibidas.
Saludos

curioso ya que mientras escribia mi mensaje y después me quede pensando si de verdad lo habia hecho bien, ya que era posible que habia un periodo de tiempo que no lo habia tenido en cuenta y veo que efectivamente es asi... pero como tampoco sé hacer sumatorias...

saludos

[polonio]

Re: vaciado de un deposito

El volumen en in instante cualquiera será:

$V=V_0 + V_{entrada}-V_{salida}$

donde $V_0$ es el volumen del depósito lleno.

Al ser los acudales constantes:

$Q_{entrada}=\frac{V_{entrada}}{t}=\frac{V_{0}}{t_{entrada}}$

$Q_{salida}=\frac{V_{salida}}{t}=\frac{V_{0}}{t_{salida}}$

Así:

$V=V_0+\frac{V_{0}}{t_{entrada}}t-\frac{V_{0}}{t_{salida}}t$

Estará vacío cuando $V=0$:

$0=V_0(1+\frac{t}{t_{entrada}}-\frac{t}{t_{salida}})$

Despejando:

$t=\frac{t_{entrada}\,t_{salida}}{t_{entrada}-t_{salida}}=\frac{120}{11}\,min\approx10.9 \,min$

[Trucao]

Re: vaciado de un deposito

curioso ya que mientras escribia mi mensaje y después me quede pensando si de verdad lo habia hecho bien, ya que era posible que habia un periodo de tiempo que no lo habia tenido en cuenta y veo que efectivamente es asi... pero como tampoco sé hacer sumatorias...

saludos

En realidad no hay mucha diferencia entre los resultados, ya que el volumen añadido por el grifo de entrada es cada vez menor y a un ritmo geométrico.

Saludos

[Trucao]

Re: vaciado de un deposito

El volumen en in instante cualquiera será:

$V=V_0 + V_{entrada}-V_{salida}$

donde $V_0$ es el volumen del depósito lleno.

Al ser los acudales constantes:

$Q_{entrada}=\frac{V_{entrada}}{t}=\frac{V_{0}}{t_{entrada}}$

$Q_{salida}=\frac{V_{salida}}{t}=\frac{V_{0}}{t_{salida}}$

Así:

$V=V_0+\frac{V_{0}}{t_{entrada}}t-\frac{V_{0}}{t_{salida}}t$

Estará vacío cuando $V=0$:

$0=V_0(1+\frac{t}{t_{entrada}}-\frac{t}{t_{salida}})$

Despejando:

$t=\frac{t_{entrada}\,t_{salida}}{t_{entrada}-t_{salida}}=\frac{120}{11}\,min\approx10.9 \,min$

Una duda: ¿Qué valores tienen los tiempos de entrada y salida?

Saludos

[polonio]

Re: vaciado de un deposito

Hombre... pues para un volumen $V_0$, el de entrada de 30 minutos y el de salida 8 minutos.

Y el caudal es cte.: el volumen de entrada por unidad de tiempo y el volumen de salida por unidad de tiempo son ctes.

EDITO: tened en cuenta que la etiqueta del hilo es "Secundaria" así que, aunque no sea un modelo muy realista, no van a usar series no nada por el estilo (además no está bien hecho así, pues entonces varían los caudales). Es un simple problema de ecuaciones lineales. Y esta ecuación lineal, además, es la que se ajusta al problema descrito (al que le faltaría decir, para que estuviese mejor especificado, que empezamos a contar el tiempo cuando el depósito está lleno y en ese instante se abren el grifo y el desagüe simultáneamente).

[carla]

Re: vaciado de un deposito

Gracias Chicos por su colaboracion y por involucrarse en un problema tan sencillo (Tal vez para uds.... porque yo ya estaba divagando con el teorema de Torricelli y Bernoulli) .Nunca mejor dicho: "Me ahogue en un vaso de agua"!!!!!!