Otras carreras Otro de hidrostática

[Nachop]

Si me pudiesen ayudar con este ejercicio se los agradecería mucho

Al principio plantié las típicas ecuaciones, pero después medite y pienso que el agua ejerce se fuerza en toda la superficie, no en un sentido en particular, en ese caso habría que integrar como se hace en el clásico ejemplo de la represa?

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Otro de hidrostática

Esta respuesta no esta correcta, el empuje del liquido deveria ser: $\displaystyle \vec E =\rho_o g R^2 L [ \frac{1}{2} \hat i +( \frac{3 \pi}{4} + 1) \hat j]$

A simple vista y de acuerdo con la definicion de principio de Arquimides, la fuerza ascendente, que experimenta un cuerpo sumergido, es igual al peso del volumen del fluido desplazado por dicho cuerpo. $\Rightarrow$

El empuje vertical deveria ser:
$\displaystyle \rho_o g R^2 L \frac{3 \pi}{4}$ que ocupa el volumen del cilindro que es representado en los cuadrantes II, III, y IV de la toma frontal del dibujo mas (+) $\rho_o g R^2 L$ que equivale al volumen del paralelepipedo del I cuadrante.

Ahora bien, si se quiere calcular el empuje por medio de la relacion entre presion y altura, esto seria:

$\displaystyle \vec E=- \iint_{\Sigma \partial S} \rho_o g y d \vec S = - \int_0^L \int_{\frac{\pi}{2} }^{2 \pi} \rho_o g (R-R \sin \phi)\hat r R d \phi d z$...(1)

Aqui el pedacito de superficie (manifold) seria representado por $R d\vec \phi \times d \vec z = R d \phi dz ( \hat \phi \times \hat k) = \hat r R d \phi dz$

Si se proyecta la expresion (1) sobre $\hat j$ se tiene que multiplicar (1) por $\hat j (\hat j \cdot ("1")) \Rightarrow$

$\displaystyle \vec E_y = -\hat j \rho_o g R^2 L \int_{\frac{\pi}{2}}^{2 \pi} (1 - \sin \phi) \sin \phi<br /> d \phi$...(2)

porque el agua hace presion de $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \phi < 2 \pi$ y $\hat j \cdot \hat r = \sin \phi$

$\displaystyle \vec E_y = \hat j \rho_o g R^2 L ( \frac{3 \pi}{4} + 1)$

similarmente para $\hat i$, de donde (2) se transforma en:

$\displaystyle \vec E_x = \hat i \rho_o g R^2 L \int_{\frac{\pi}{2}}^{2 \pi} (\sin \phi -1) \cos \phi d \phi = \hat i \rho_o g R^2 L \frac{1}{2}$

como vez esa respuesta no esta correcta.

Yo use $\hat i$ como $\hat x$ y $\hat j$ como $\hat z$, ademas de coordenadas cilindricas.

regards

Jose

Pd, si quieres tambien puedes usar coordenadas rectangulares en las cuales, el pedacito de superficie seria $d \vec z \times d \vec r = d \vec z \times d \vec x + d \vec z \times d \vec y$ y se tendria que tomar en consideracion la relacion $R^2 = x^2 + y^2$ que es la ecuacion del cilindro en 3-D, pero es un poco mas tedioso.

[Nachop]

Re: Otro de hidrostática

Muchas muchas gracias como siempre Jose!

He aquí mis dudas

Esta respuesta no esta correcta, el

El empuje vertical deveria ser:
$\displaystyle \rho_o g R^2 L \frac{3 \pi}{4}$ que ocupa el volumen del cilindro que es representado en los cuadrantes II, III, y IV de la toma frontal del dibujo mas (+) $\rho_o g R^2 L$ que equivale al volumen del paralelepipedo del I cuadrante.

Por qué el primer cuadrante hay que considerarlo como un paralelepípedo? siendo que mi intuición dice que el volumen desplazado es todo debido al cilindro

Y por qué le antepusiste el signo menos al empuje?

[Jose D. Escobedo]

Re: Otro de hidrostática

El cilindro funciona como dispositivo-valvula para detener el derramamiento de agua de acuerdo con el planteamiento del problema. Consecuentemente, en el primer cuadrante no existe agua haciendo presion sobre la cuarta parte del volumen, localizada en el primer cuadrante (viendo el plano frontal), de dicho cilindro. Ese espacio que es suplantado por aire que actua como volumen del liquido desplazado, en otras palabras el volumen desplazado no es $\frac{1}{4} \pi r^2L$ sino $r^2 L$.

El signo negativo lo puedes consultar aqui

www.en.wikipedia.org/wiki/Buoyancy

Pero una explicacion mas profunda tiene que ver con tensors.

[Nachop]

Re: Otro de hidrostática

Gracias como siempre Jose D. Escobedo!

Pero aún no entiendo bien por qué el primer cuadrante es suplantado por aire... porque me imagino el recipiente casi lleno, ahora introduzco el cilindro, el líquido que desplaza es gracias a todo el volumen del cilindro...

Y con respecto al signo, lo pusiste negativo porque, sin este signo estaríamos calculando la fuerza del peso?

Gracias! y disculpa lo testarudo

[Jose D. Escobedo]

Re: Otro de hidrostática

Gracias como siempre Jose D. Escobedo!

porque me imagino el recipiente casi lleno, ahora introduzco el cilindro, el líquido que desplaza es gracias a todo el volumen del cilindro...

Gracias! y disculpa lo testarudo

No hay ningun problema con ser testarudo, pero lo que te estas imaginando es una cosa muy diferente al problema, en otras palabras estas hablando de un problema completamente diferente. Primero, el problema empieza diciendo: Considere... ...la figura (pon atencion a la altura del recipiente en ambos lados, pregunto que se puede deducir de eso?). Segundo, Si lees la parte donde dice: El cilindro se puede mover libremente. ...cuando el agua llega a la parte superior del cilidro, la posicion del cilindro es la mostrada en la figura. lo cual cotradice tu razonamiento de ",ahora introduzco el cilindro," porque el cilindro ya estaba antes de llenar el recipiente.

Trate de explicarte de una forma que tal vez no entendiste o no quieres entender. Esta bien, ahora voy atratar de hacerte reflexionar con una pregunta que tiene algo de analogia y que te puede dar una idea de lo que te estoy tratando de decir.

Como es que se pueden fabricar barcos de metal si son estos son hechos de materiales mas densos que el agua?

el signo tiene que ver con los tensores de el area (vector) y la presion (scalar) ( si lo quieres ver mas profundamente ve este link www.en.wikipedia.org/wiki/Stress_(physics)) y no se esta calculando el peso si omito el signo, puesto que estoy utilizando la dencidad del agua $\rho_o$, en todo caso seria el empuje en sentido contrario.

[Nachop]

Re: Otro de hidrostática

En serio muchas gracias!

Pd, si quieres tambien puedes usar coordenadas rectangulares en las cuales, el pedacito de superficie seria $d \vec z \times d \vec r = d \vec z \times d \vec x + d \vec z \times d \vec y$ y se tendria que tomar en consideracion la relacion $R^2 = x^2 + y^2$ que es la ecuacion del cilindro en 3-D, pero es un poco mas tedioso.

Sólo por curiosidad, cómo quedaría la integral si se hiciese en rectangulares?