Otras carreras Fluidos, recipiento en movimiento

[Nachop]

Un tanque de sección transversal circular $A$ y de profundidad $L$ está lleno de líquido y es acelerado uniformemente en dirección horizontal. Si $\dfrac{1}{3} V$ parte del líquido se derrama, donde $V$ es volumen inicial. Determine la aceleración

No sé por donde agarrar el problema, lo que si es un hecho, es que habrá que ocupar la relación $P=-\rho gy-\rho a_{x}x+P_0$

Gracias de antemano por su ayuda

[Nachop]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

Creo haber llegado a algo, pero me nació una duda. Un consejo que una vez me dio mi profe fue que si no teníamos idea cómo afrontar un problema, lo mejor es hacerlo más sencillo, eso hice yo y consideré que el líquido estaba contenido en un paralelepído de ancho $b$, alto $a$ y largo $c$, entonces el volumen es $abc$ y lo que queda en el interior es $\dfrac{2}{3}abc$

Ahora como queda más de la mitad de líquido dentro del recipiento entonces, el líquido se puede dividir en un volumen de forma de paralelepídeo de volumen $xbc$ y otra de un paralelepípedo cortado diagonalmente de volumen $\dfrac{(a-x)bc}{2}$, por lo tanto

$xbc+\dfrac{(a-x)bc}{2}=\dfrac{2}{3}abc$
entonces $x=\dfrac{a}{3}$

Ahora si sitúo mi origen en extremo superior derecho y suponiendo que la aceleración va hacia la derecha entonces ocupando la relación puesta en el post original

$P_1(-b,0)=\rho a_xb+P_0$

$P_2(0,-2a/3)=\dfrac{2}{3}\rho ga+P_0$

Pero como estos dos puntos están en la isóbara, se pueden igualar y se obtiene $a_x=\dfrac{2ga}{3b}$

Ahora hice lo mismo con el cilindro, pero cuando quise evaluar los puntos como lo hice en el paso anterior me nació la duda ¿se puede evaluar como lo acabo de hacer o hay que hacer alguna transformación a coordenadas cilíndricas?

[Saplaya]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

Creo haber llegado a algo, pero me nació una duda. Un consejo que una vez me dio mi profe fue que si no teníamos idea cómo afrontar un problema, lo mejor es hacerlo más sencillo, eso hice yo y consideré que el líquido estaba contenido en un paralelepído de ancho $b$, alto $a$ y largo $c$, entonces el volumen es $abc$ y lo que queda en el interior es $\dfrac{2}{3}abc$

Ahora como queda más de la mitad de líquido dentro del recipiento entonces, el líquido se puede dividir en un volumen de forma de paralelepídeo de volumen $xbc$ y otra de un paralelepípedo cortado diagonalmente de volumen $\dfrac{(a-x)bc}{2}$, por lo tanto

$xbc+\dfrac{(a-x)bc}{2}=\dfrac{2}{3}abc$
entonces $x=\dfrac{a}{3}$

Ahora si sitúo mi origen en extremo superior derecho y suponiendo que la aceleración va hacia la derecha entonces ocupando la relación puesta en el post original

$P_1(-b,0)=\rho a_xb+P_0$

$P_2(0,-2a/3)=\dfrac{2}{3}\rho ga+P_0$

Pero como estos dos puntos están en la isóbara, se pueden igualar y se obtiene $a_x=\dfrac{2ga}{3b}$

Ahora hice lo mismo con el cilindro, pero cuando quise evaluar los puntos como lo hice en el paso anterior me nació la duda ¿se puede evaluar como lo acabo de hacer o hay que hacer alguna transformación a coordenadas cilíndricas?

[FONT=Times New Roman]Hola Nachop. Siempre que el depósito tenga simetría respecto a su eje vertical y sección constante (como es el caso de un paralelepípedo y de un cilindro), el plano que forma la superficie libre del líquido dividirá el volumen que este plano abarca en dos figuras iguales (y por tanto de igual volumen).[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si en tu ecuación sustituyes “b.c” por “A”, siendo “A” la sección, el resultado que obtienes para “x” es el mismo ya que el volumen abarcado por el plano será[/FONT]
[FONT=Times New Roman]( (a-x).A/2))[/FONT]
[FONT=Times New Roman]es decir, la mitad del volumen que tiene el cilindro completo donde queda “inscrita” la superficie libre del líquido.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Saludos[/FONT]

[Nachop]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

[FONT=Times New Roman]Hola Nachop. Siempre que el depósito tenga simetría respecto a su eje vertical y sección constante (como es el caso de un paralelepípedo y de un cilindro), el plano que forma la superficie libre del líquido dividirá el volumen que este plano abarca en dos figuras iguales (y por tanto de igual volumen).[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si en tu ecuación sustituyes “b.c” por “A”, siendo “A” la sección, el resultado que obtienes para “x” es el mismo ya que el volumen abarcado por el plano será[/FONT]
[FONT=Times New Roman]( (a-x).A/2))[/FONT]
[FONT=Times New Roman]es decir, la mitad del volumen que tiene el cilindro completo donde queda “inscrita” la superficie libre del líquido.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Saludos[/FONT]

Gracias Saplaya por responder, pero eso ya lo hice, mi duda está en el paso final

En el caso del paralelepípedo evalué en $P_1(-b,0)$ y en $P_2(0,-2a/3)$, mi pregunta es si puedo hacer lo mismo en un cilindro, y sino es así cómo se hace el paso final?

Espero me haberme explicado bien
Saludos y gracias nuevamente

[Saplaya]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

En el caso del paralelepípedo evalué en $P_1(-b,0)$ y en $P_2(0,-2a/3)$, mi pregunta es si puedo hacer lo mismo en un cilindro, y sino es así cómo se hace el paso final?

Si que puedes. Date cuenta que cuando planteas las ecuaciones de P1 y P2 los valores “a” y “b” que consideras son coordenadas que no tienen en cuenta la geometría del recipiente, únicamente el valor 2/3 que aparece está teniendo esto en cuenta y como ya has comprobado este valor es el mismo para el cilindro. Esto es así porque el ángulo que forma la superficie libre del líquido depende solo de la aceleración y de “g” pero no de la geometría del recipiente (con las mismas condiciones de aceleración el ángulo es el mismo para cualquier recipiente). La geometría del recipiente influirá en la coordenada en altura del punto inferior de la superficie libre, pero la forma de plantear las ecuaciones que definen las presiones será la misma.

Un saludo

[Nachop]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

Muchas gracias Saplaya sólo me quedó una duda con respecto a esto

Si que puedes. Date cuenta que cuando planteas las La geometría del recipiente influirá en la coordenada en altura del punto inferior de la superficie libre

Me podrías explicar un poco más lo que está en negrita por favor

pero la forma de plantear las ecuaciones que definen las presiones será la misma.

O sea que las presiones son las mismas, independiente del recipiente?

[Saplaya]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

O sea que las presiones son las mismas, independiente del recipiente?

[FONT=Times New Roman]Todos los puntos de la superficie libre están en equilibrio con la atmosfera por tanto su presión es [/FONT][FONT=Verdana]$P_{0}$, aplicando la ecuación de presiones a cualquiera de estos puntos[/FONT]

[FONT=Verdana]$P=P_{0}=-\rho gy-\rho a{_x}x+ P_{0}$[/FONT]

[FONT=Verdana]Luego[/FONT]

[FONT=Verdana]$0=-\rho gy-\rho a{_x}x$[/FONT]

[FONT=Verdana]Esto es la ecuación de una recta que forma un ángulo con la horizontal de tangente[/FONT]

[FONT=Verdana]$tg{(\alpha)}=y/x=-a{_x}/g$[/FONT]

[FONT=Verdana]Para obtener esto no hemos tenido en cuenta en ningún momento la forma del recipiente, es decir, para un valor de aceleración determinado le corresponde un valor de pendiente determinado, o lo que es lo mismo, para el caso de este hilo, a un valor determinado de $\alpha$ le corresponde un solo valor de aceleración. Como la pendiente es la misma para el cilindro y el paralelepípedo, la aceleración será la misma.[/FONT]

Me podrías explicar un poco más lo que está en negrita por favor

[FONT=Verdana]A lo que me refiero es que si el recipiente fuera un tronco de cono, por ejemplo, ya no se cumpliría lo de que la superficie libre divide al tronco de cono que abarca en dos partes iguales y por tanto el punto inferior de la superficie libre podría estar a una altura diferente, ahora bien si la aceleración fuera la misma la pendiente también lo sería.[/FONT]

[Nachop]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

Gracias por la paciencia Saplaya, me ha quedado claro!

[Saplaya]

Re: Fluidos, recipiento en movimiento

De nada

Saludos