Otras carreras tanque esferico

[earb2004]

Hola amigos, he estado intentando realizar el ejercicio mostrador en a imagen pero la verdad no lo he podido realizar, quisiera saber si me puede colaborar para solucionarlo,

Se trata de un taque esferico que tiene flujo de entrada y de salida.

[alefriz]

Re: tanque esferico

Hola amigos, he estado intentando realizar el ejercicio mostrador en a imagen pero la verdad no lo he podido realizar, quisiera saber si me puede colaborar para solucionarlo,

Se trata de un taque esferico que tiene flujo de entrada y de salida.

Tienes que darte cuenta de que la variación de volumen de líquido dentro de la esfera a lo largo del tiempo, tiene que ser igual a la diferencia de caudales (el que entra menos el que sale), es decir:

$$\frac{dV}{dt}=q_i - q_o$$

El volumen en el interior de la esfera irá creciendo, ya que le caudal de salida siempre va a ser inferior al de entrada, incluso con la esfera llena.

El elemento diferencial de volumen será:

$$dV = A(z) dz = \pi r(z)^2 dz$$

Siendo $r(z)$ la variación del radio de la superficie plana de agua en función de la altura, que por trigonometría simple (tomando origen de coordenadas el centro de la esfera) vale:

$$r(z) = \sqrt{\frac{D^2}{4}-z^2}$$

Introduciendo las expresiones (2) y (3) en la ecuación (1) e integrando, obtendrá el volumen en función del tiempo.

[earb2004]

Re: tanque esferico

que pena molestarlo, quisiera saber si me colaboras con la solucion completa. puesto que estoy un poco confundido en los temas, pues no es el unico ejercicio que estoy intentado resolver. de antemano te agradezco.

[cachaco377]

Re: tanque esferico

Quisiera saber si finalmente pudiste resolver el ejercicio. Tengo que entregar uno similar, pero estoy haciendolo mediante la formula del volumen para un casquete esferico, la cual derivo con respecto a la altura.

Volumen casquete: pi·h^2·(r - h/3)

Sin embargo no se que hacer con el radio...

Gracias.

[cachaco377]

Re: tanque esferico

Pudiste resolverlo?

[alefriz]

Re: tanque esferico

que pena molestarlo, quisiera saber si me colaboras con la solucion completa. puesto que estoy un poco confundido en los temas, pues no es el unico ejercicio que estoy intentado resolver. de antemano te agradezco.

La solución de la integral no es sencilla, ya que si te das cuenta el caudal de salida también depende de la altura del líquido ($q_o = a \cdot \sqrt{h} = a \cdot \sqrt{D/2+z}$, siendo $a$ una constante).

Quedaría algo como:

$\int_{-D/2}^{D/2}{\pi \frac{D^2/4-z^2}{q_i-a \sqrt{D/2+z}}dz} = \int_0^t{dt}$

La solución algebraica la puedes calcular con auxilio de algún programa como el Mathematica. Mira en esta página: http://integrals.wolfram.com/index.j...=&random=false

[cachaco377]

Re: tanque esferico

Tengo el mismo ejercicio, en mi caso el flujo de entrada es menor al ade salida qi=0.001 m3/s y q0=0.003*h^1/2

El diametro de la esfera es 3 metros (h=3) y se empieza a vaciar con h=2. Tengo que calcular el valor de la altura del liquido despues de pasados 60 segundos y el tiempo total que tarda en vaciarse. Uso la variacion del volumen de la esfera o la del casquete esferico? Gracias.

[cachaco377]

Re: tanque esferico

D...es el diametro...correcto? Como relaciono z con h? Necesitaria dejar la integral con limites en funcion de la altura...Gracias.

[Nachop]

Re: tanque esferico

$\int_{-D/2}^{D/2}{\pi \frac{D^2/4-z^2}{q_i-a \sqrt{D/2+z}}dz} = \int_0^t{dt}$

Pienso que los límites de integración de la integral de la derecha no son correctos, debería ser de $h_0$ a $-D/2$, donde $h_0$ es la altura inicial, que puede ser perfectamente calculable con ayuda de la geometría.

Al parecer alefriz desarrollo el problema suponiendo que la esfera estaba incialmenete llena de líquido