2o ciclo Sistemas ligados y método de Dirac

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Sistemas Ligados

Como se ha mencionado en varias ocasiones RG es una teoría totalmente ligada. Esto quiere decir que su Hamiltoniano total es una combinación de ligaduras que son funcionas que se anulan en las soluciones a las ecuaciones de movimiento. El tratamiento de dichos sistemas requiere cambiar de punto de vista en el formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano para acomodar la presencia de dichas ligaduras:

Vamos a ir describiendo como se efectúa el tratamiento de dichos sistemas y el método de cuantización de Dirac para los mismos.

Así que consideremos que tenemos un sistema mecánico descrito por la siguiente Lagrangiana:

$L=L(q_i, \dot{q}_j)$

Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por:

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i})$.

Podemos elegir describir el sistema en términos de coordenadas generalizadas y momentos conjugados en vez de velocidades generalizadas. La definición usual de momento es:

$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$.

Donde las coordenadas generalizadas y sus momentos configuran el espacio de fases del sistema.

En general consideramos lo siguiente:

Los momentos son funciones independientes de las velocidades.

Sin embargo, hay sistemas donde la lagrangiana es singular verificandose:

$det[\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial \dot{q}_j}]=0$

Esto implica que no todas las velocidades pueden ser expresadas como funciones de las coordenadas y los momentos. Tampoco las aceleraciones pueden ser unívocamente determinadas como posiciones de posiciones y velocidades para un tiempo dado a partir de las ecuaciones de movimiento.

Así que encontramos diversas relaciones entre posiciones y momentos:

$\phi_m(q,p)=0$ donde m toma valores de 1 a M

Estas $\phi_m$ se denominan ligaduras primarias (primario hace referencia a que se han de introducir al nivel de la definición de los momentos).

Estas ligaduras identifican una subvariedad en el espacio de fases que se denomina superficie de ligaduras primarias.

Si ahora intentamos definir el Hamiltoniano:

$H=\sum_k p_k\dot{q}_k-L(q,\dot{q}(p))$

Procedamos a calcular su variación:

$\delta H=\sum_k \dot{q}_k\delta p_k-\sum_j(\frac{\delta L}{\delta q_j})\delta q_j$

Como es evidente, su variación solo depende de momentos y coordenadas.

Sin embargo nos queda una ambigüedad subyacente porque siempre podemos definir el siguiente Hamiltoniano:

$H'=H+\sum_m c_m\phi_m$

Es decir, siempre podemos sumar una combinación de las ligaduras.

Pero las ecuaciones de movimiento serán en este caso:

$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}+\sum_m u_m\frac{\partial \phi_m}{\partial p_i}$
$-\dot{p}_j=\frac{\partial H}{\partial q_j}+\sum_m u_m\frac{\partial \phi_m}{\partial q_j}$.

Empleemos la definición del paréntesis de Poisson.

$[f,g]=\sum_i(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i})$

De donde se obtiene el resultado familiar: $[q_i,p_j]=\delta_{ij}$.

Usando el parétesis las ecuaciones de movimiento rezan:

$\dot{q}_i=[q_i,H]+\sum_m u_m[q_i,\phi_m]$
$\dot{p}_j=[p_j,H]+\sum_m u_m[p_j,\phi_m]$

Para una función general f de las variables canónicas:

$\dot{f}=[f,H]+\sum_m u_m[f,\phi_m]$.

Es claro que podemos escribir: $\dot{f}=[f,H_T]$ donde $H_T=H+\sum_mu_m\phi_m$.

Es importante decir que siguiendo este formalismo la imposición de las ligaduras se ha de hacer justo despues de calcular todos los paréntesis de Poisson. De otra forma podríamos tener inconsistencias porque nos salen paréntesis que multiplican ligaduras y al considerar estas nulas de entrada nos llevaría a resultados erróneos. Es decir, primero obtenemos la evolución, y luego la restringimos a la subvariedad del espacio de fases donde se satisfacen las ligaduras y no al contrario o podríamos perder información necesaria.

¿Qué pasa si calculamos la evolución de una ligadura?

$\dot{\phi}_n=[\phi_n,H]+\sum_mu_m[\phi_n,phi_m]=0$

Hemos de entender que esta igualdad sólo es válida una vez aplicadas las ligaduras despues de calcular los paréntesis como hemos comentado antes, es lo que se conoce como una igualdad débil, la simbolizaremos por $\approx$.

$\dot{\phi}_n=[\phi_n,H]+\sum_mu_m[\phi_n,phi_m]\approx 0$


Casos:

1.- Esta ecuación puede satisfacerse automáticamente ---> las ligaduras son preservadas por evolución temporal y la superficie de ligaduras primarias no se destruye en la evolución.

2.- Si $\dot{\phi}_n\neq 0$ para ciertos valores de n. Entonces debemos de recurrir a definir ligaduras secundarias $\chi(q,p)\approx 0$. Entonces tenemos que volver a calcular la evolución de todas las ligaduras, incluyendo las secundaria, y hacer el mismo análisis.

En realidad, no hay ninguna diferencia conceptual entre las ligaduras primarias y secundarias. Por tanto las denotaremos todas por el mismo símbolo $\phi_m(q,p)\approx 0$ m=1,..., M+K (M ligaduras primarias y K ligaduras secundarias).

Clases de funciones en relación a las ligaduras:

Llamaremos función de primera clase a toda función que Poisson conmmute (débilmente) con todas las ligaduras. Pero, dado que las ligaduras son los únicos objetos independientes que se anulan débilmente, cualquier función F(q,p) que sea de primera clase se habrá de expresar como combinación lineal de las ligaduras.

$[F,\phi_m]=\sum_n c_{mn}\phi_n$.

Todas las demás funciones de las variables canónicas se denominan de segunda clase.

En concreto, las ligaduras también pueden ser de primera clase sí:

$[\phi_m,\phi_n]=\sum_k c_{mnk}\phi_p$
Si no cumplen esto, se denominarán de segunda clase.


Se conoce como conjetura de Dirac a lo siguiente:

Todas las ligaduras de primera clase generan transformaciones gauge en el sistema.