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Siguiendo con la discusión empezada en este hilo vamos a describir brevemente lo que es el efecto de Aharonov-Bohm.
Situación:
Tenemos un solenoide infinito (de sección despreciable, esto evidentemente es una situación ideal). Este solenoide es ortogonal a un plano y consideramos que justamente corta a dicho plano en su origen de coordenadas.
Podemos considerar que el solenoide está introduciendo un flujo magnético y que vamos a lanzar electrones por el plano... pero dichos electrones no pueden penetrar el solenoide (siempre podemos considerar que el solenoide está rodeado por una barrera de potencial infinito).
Por lo tanto en el espacio por el cual los electrones se mueven el campo magnético es nulo.
Sin embargo, si estudiamos el movimiento de estos electrones (especialmente su dispersión) obtenemos:
Lo cual es curioso, porque la dispersión de los electrones se ven afectada por el flujo magnético aunque los electrones nunca penetran en una región de campo magnético no nulo.
Estudiemos el Hamiltoniano de los electrones en este contexto:
Donde es el potencial vector. De hecho, la forma que tiene este potencial en este caso es:
Donde tenemos el producto del vector unitario en la dirección z por el vector de posición del electrón en el plano. Es fácil ver que este potencial da lugar a un campo vectorial que satisface las condiciones del problema simplemente aplicando la defición.
Particularidades:
1.- El campo A es un campo gauge.
2.- El campo A por lo tanto no es un observable. Los observables han de ser invariantes gauge.
3.- Si efectuamos una transformación gauge, que en este caso significa:
3.1.- El potencial está indeterminado en la derivada de una función, es decir que da lugar a los mismos campos E y B que:
3.2.- La función de onda del electrón está indeterminada en un fase dependiendo de una función escalar. Es decir que la densidad de probabilidad (uno de los observables fundamentales de la cuántica) es la misma para y:
4.- Cuando el potencial es “puro gauge” es decir, cuando el potencial directamente es una derivada de una función escalar , este potencial es equivalente a cero mediante una transformación gauge (basta con elegir una función cuya derivada sea igual a la que define el potencial). Esto nos asegura que el campo magnético es nulo: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
5.- Sin embargo, se puede dar el caso en el cual [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] pero que el potencial no sea la derivada de una función escalar f.
Es fácil comprobar que la ecuación (1) satisface justamente esta característica.
El punto sutil que hay que captar aquí es que (1) da lugar a un campo magnético nulo sólo localmente. Pero no es nulo en el origen debido a que tiene una singularidad cuando |x|=0
Podemos intentar anular el potencial vector (1) mediante una transformación gauge (2) pero para hacer eso hemos de tomar la derivada de una función singular:
Sin embargo, hay un precio a pagar. La función de onda deja de ser univaluada (es decir, puede asignar dos probabilidades distintas a un mismo punto):
Esto es un efecto debido a que cuando un electrón rodea el solenoide, que está en el origen, adquiere una fase invariante gauge (es decir, no se puede eliminar por un transformación gauge):
Nota: Esta integral se anularía si no hubiera una “singularidad” en el potencial. Esto equivale a que topológicamente el espacio donde se mueven los electrones no es contractible. Esto quiere decir que un camino cerrado no puede ser contraido a un punto (debido a que la singularidad equivale a que al espacio se le ha quitado un punto, por lo que un camino cerrado que encierre la singularidad no es reducible a un punto por transformaciones continuas).
La fase que adquiere el electrón (dependiente del flujo magnético en el interior del solenoide por el cual nunca pasa el electrón) no depende de la distancia del electrón al solenoide o de su velocidad. Depende únicamente de la topología del espacio y de cuantas veces el electrón rodea al solenoide siguiendo un camino cerrado. Este es un interesante caso de que la topología es relevante en el entendimiento de un proceso físico. Los conceptos implicados son homotopías, contractibilidad, etc...
Seguiremos esta discusión introduciendo una teoría topológica de campos, la teoría de Chern-Simons.
Para un tratamiento más pormenorizado del efecto de Aharonov-Bohm (que se describe en muchos libros de cuántica):
http://abacus.bates.edu/~msemon/The%20Aharonov.pdf
Situación:
Tenemos un solenoide infinito (de sección despreciable, esto evidentemente es una situación ideal). Este solenoide es ortogonal a un plano y consideramos que justamente corta a dicho plano en su origen de coordenadas.
Podemos considerar que el solenoide está introduciendo un flujo magnético y que vamos a lanzar electrones por el plano... pero dichos electrones no pueden penetrar el solenoide (siempre podemos considerar que el solenoide está rodeado por una barrera de potencial infinito).
Por lo tanto en el espacio por el cual los electrones se mueven el campo magnético es nulo.
Sin embargo, si estudiamos el movimiento de estos electrones (especialmente su dispersión) obtenemos:
Lo cual es curioso, porque la dispersión de los electrones se ven afectada por el flujo magnético aunque los electrones nunca penetran en una región de campo magnético no nulo.
Estudiemos el Hamiltoniano de los electrones en este contexto:
Donde es el potencial vector. De hecho, la forma que tiene este potencial en este caso es:
Donde tenemos el producto del vector unitario en la dirección z por el vector de posición del electrón en el plano. Es fácil ver que este potencial da lugar a un campo vectorial que satisface las condiciones del problema simplemente aplicando la defición.
Particularidades:
1.- El campo A es un campo gauge.
2.- El campo A por lo tanto no es un observable. Los observables han de ser invariantes gauge.
3.- Si efectuamos una transformación gauge, que en este caso significa:
3.1.- El potencial está indeterminado en la derivada de una función, es decir que da lugar a los mismos campos E y B que:
3.2.- La función de onda del electrón está indeterminada en un fase dependiendo de una función escalar. Es decir que la densidad de probabilidad (uno de los observables fundamentales de la cuántica) es la misma para y:
4.- Cuando el potencial es “puro gauge” es decir, cuando el potencial directamente es una derivada de una función escalar , este potencial es equivalente a cero mediante una transformación gauge (basta con elegir una función cuya derivada sea igual a la que define el potencial). Esto nos asegura que el campo magnético es nulo: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
5.- Sin embargo, se puede dar el caso en el cual [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] pero que el potencial no sea la derivada de una función escalar f.
Es fácil comprobar que la ecuación (1) satisface justamente esta característica.
El punto sutil que hay que captar aquí es que (1) da lugar a un campo magnético nulo sólo localmente. Pero no es nulo en el origen debido a que tiene una singularidad cuando |x|=0
Podemos intentar anular el potencial vector (1) mediante una transformación gauge (2) pero para hacer eso hemos de tomar la derivada de una función singular:
Sin embargo, hay un precio a pagar. La función de onda deja de ser univaluada (es decir, puede asignar dos probabilidades distintas a un mismo punto):
Esto es un efecto debido a que cuando un electrón rodea el solenoide, que está en el origen, adquiere una fase invariante gauge (es decir, no se puede eliminar por un transformación gauge):
Nota: Esta integral se anularía si no hubiera una “singularidad” en el potencial. Esto equivale a que topológicamente el espacio donde se mueven los electrones no es contractible. Esto quiere decir que un camino cerrado no puede ser contraido a un punto (debido a que la singularidad equivale a que al espacio se le ha quitado un punto, por lo que un camino cerrado que encierre la singularidad no es reducible a un punto por transformaciones continuas).
La fase que adquiere el electrón (dependiente del flujo magnético en el interior del solenoide por el cual nunca pasa el electrón) no depende de la distancia del electrón al solenoide o de su velocidad. Depende únicamente de la topología del espacio y de cuantas veces el electrón rodea al solenoide siguiendo un camino cerrado. Este es un interesante caso de que la topología es relevante en el entendimiento de un proceso físico. Los conceptos implicados son homotopías, contractibilidad, etc...
Seguiremos esta discusión introduciendo una teoría topológica de campos, la teoría de Chern-Simons.
Para un tratamiento más pormenorizado del efecto de Aharonov-Bohm (que se describe en muchos libros de cuántica):
http://abacus.bates.edu/~msemon/The%20Aharonov.pdf