1r ciclo Problema singular gravitatorio

[kosmologo]

Me plantearon un problema de tipo gravitacional que no supe resolver por lo que pido ayuda a los maestros y caperusos. El problema es el siguiente:
En el espacio tenemos 2 cuerpos muy especiales estando el primero ubicado en un punto A y el segundo en un punto B, ambos puntos separados por una distancia “d”. El punto A es el centro de una esfera de radio “r” variable en el tiempo pero de densidad constante p . La variación del radio “r” es exponencial con el tiempo, siendo K una constante y t el tiempo, O sea:



r={e}^{Kt}

Por lo tanto su masa M es también variable de la forma:

M=4/3* r *p*r 3

Sobre el punto “B” hay una partícula de masa unitaria que tiene la característica de ser repelida gravitacionalmente por la esfera, como si la esfera fuera de materia normal y la partícula de antimateria. Esta partícula está ubicada inicialmente, para t=0, a la distancia “d” del centro de la esfera y a una distancia X, después de trascurrido un tiempo “t” cualesquiera diferente de cero. La fuerza de repulsión crece siguiendo la misma variación de la ley de gravitación universal pero obviamente con signo contrario.
El problema consiste en determinar el valor de X en función del tiempo.
Eternamente agradecido si me dan la solución.

[arivasm]

Re: Problema singular gravitatorio

Antes de nada debemos aclarar una cosa: la materia y la antimateria no se repelen gravitacionalmente. Partiendo de aquí, el ejercicio es tan irreal como si dijésemos "tenemos dos cargas positivas que se atraen...". No obstante, si a pesar de ello necesitas ayuda podemos hacer como aquel anuncio en el que un personaje decía "vaaale, acepto pulpo como animal de compañía!", pero eso sí, cuéntanos qué has intentado.

[xXminombreXx]

Re: Problema singular gravitatorio

¿Por qué no tratas de resolverlo como si te pidieran las cosas normalmente? Gravedad que atrae, como toda la vida, y dos masas, una de ellas que depende del tiempo. Si lo haces normalmente llegarás a una posición con respecto al tiempo que depende de la masa que cambia (considerando que esta está quieta), pues cambias esa masa por la expresión que has hallado y tendrás la solución. Sólo tienes que cambiar el signo de la fuerza para tu problema, osease, cambiar el signo de la aceleración, pero no representa mayor dificultad que el problema "normal".

[arivasm]

Re: Problema singular gravitatorio

Veo que el hilo resucita, y casi que me alegro, porque parece que puede ser bonito. En mi opinión, como dice xXminombreXx el enfoque más simple pasa por la gravedad de toda la vida y considerarla antigravedad (que es la parte que a mí más me rechina, por no hablar de la masa que surge de la nada a medida que crece la esfera centrada en A, o la falta de un factor de longitud delante de la expresión para r(t)).

Expondré lo que he pensado, por si alguien tiene una idea mejor: El teorema de Gauss nos permite afirmar que mientras B esté a una distancia del centro de A mayor que el radio de A la gravedad será $G M[r(t)]/x^2=\ddot x$, es decir, $\frac{4}{3}\pi\rho [r(t)]^3 / x^2$. Para integrar esta expresión es mejor recurrir a la conservación de la energía, aunque el carácter repulsivo de la fuerza nos obligará a trabajar con una energía potencial cambiada de signo respecto de la habitual: $\frac{1}{2}{\dot x}^2+G M[r(t)] / x = E = G M[r(0)] / d$. De todos modos, tiene pinta de que la dependencia exponencial de r con el tiempo seguramente complicará bastante la integración.

En cuanto el radio de la esfera centrada en A haya superado la posición de la partícula, la ecuación diferencial se vuelve algo más tranquila: $\ddot x = G M(x) / x^2 = \frac{4}{3}\pi G \rho x$. Claro que ahora el problema viene por la necesaria continuidad de la velocidad y la posición (y esta última es la más "sencilla": $d+x(t)=r(t)$), con lo que me temo que "sufriremos" bastante por la necesidad de encontrar x(t).

PD: O lo pregunto o reviento, ¿de dónde salió este ejercicio?

[arivasm]

Re: Problema singular gravitatorio

He editado mi post anterior porque me he dado cuenta que el hecho de que la masa M aumente va a impedir la conservación de la energía mecánica, para mayor complicación de tan complicado ejercicio.