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En LQG el objeto fundamental es la geometría del propio espaciotiempo. Se puede decir que LQG intenta cuantizar la geometría del espaciotiempo.
En el proceso de cuantización surge de manera natural una discretización del espaciotiempo "cuántico". La descrición del espaciotiempo se hace en base de estados cuánticos que no están definidos sobre una variedad continua sino sobre grafos unidimensionales que dan lugar a los conocidos como spin networks.
Los spin networks son "funciones de onda" cuánticas, para definirlas en el espaciotiempo la teoría nos obliga a que las hemos de definir única y exclusivamente sobre grafos, es decir, el espaciotiempo deja de ser algo continuo para solo dar sentido a cantidades y estados definidos en subvariedades unidimensionales denominadas grafos:
Uno de los resultados más famosos de LQG es que los valores posibles de observables geométricos tales como áreas o volúmenes están discretizados:
Esta es una visión de los posibles valores de áreas y voluenes, y una comparación con los niveles de energía discretizados del átomo de hidrógeno.
Lo interesante es que los posibles valores del área de una superficie dados por LQG se puede expresar del siguiente modo:
Esto se ha de entender del siguiente modo: El spin network "pincha" una determinada superficie en un determinado conjunto de puntos. Cada lado del spin network lleva su correspondiente j, y en cada punción la superficie adquiere el área dada por esa fórmula. El área total será la suma para todas las punciones, una imagen aproximada sería:
Agujeros negros en LQG: Una visión efectiva
Por desgracia aún no disponemos en LQG de una propuesta de dinámica del agujero negro aceptada completamente y que se haya demostrada coherente y que recupere a nivel semiclásico las ecuaciones de Einstein. Una discusión completa de este problema y de toda la LQG se puede encontrar en el fabuloso libro de Thomas Thiemann. Esto significa que no podemos identificar los estados correspondientes al producto de un colapso gravitatorio y por lo tanto no podemos hablar de estados de agujeros negros con toda propiedad.
Sin embargo, en cierto límite de la teoría, para agujeros negros "grandes", se puede proponer los siguiente:
La propuesta que se emplea en LQG es cuantizar un espaciotiempo con una frontera interna que representa la presencia de un horizonte.
La visión por lo tanto es la siguiente:
Por lo tanto por cada punción con una j dada, tenemos 2j+1 posibles valores de m.
A todo esto podemos imponer restricciones:
La discusión de este problema es muy interesante, porque condensa en un mismo problema cuestiones relativas a relatividad general, geometría y teorías de cuánticas de campos topológicas ya que se puede mostrar como en la superficie del horizonte aparece una teoría de Chern-Simons. Otra vez, la mejor referencia es la de Thiemann y el clásico: Ashtekar, Baez, Krasnov (ABK)
Lo fabuloso es que todo el tratamiento geométrico se puede condensar en un problema combinatorio. De hecho es un problema combinatorio muy complicado porque involucra dos ligaduras, el problema se puede formular del siguiente modo:
La cuestión esencial que hay que remarcar es la siguiente:
Si no tenemos en cuenta las características impuestas por la cuantización de un espacio con frontera interna, y en especial por la participación de los difeomorfismos espaciales y su precisa actuación sobre el horizonte y las punciones, no se obtendría un resultado compatible con la entropía de Bekenstein-Hawking. Es decir, que obtener una relación lineal entre la entropía y el área del horizonte no es nada trivial en este problema.
Resultados
En la discusión del problema hemos obviado un detalle:
Si observamos la fórmula del área:
Hay un parámetro gamma ---> Este parámetro es curioso, aparece en la teoría clásica de la Relatividad General al trabajar en las acciones que podemos definir en esta teoría. No es muy importante la presencia de este parámetro a nivel clásico porque su valor es irrelevante. Esto lo que quiere decir es que teorías definidas para distintos valores del parámetro están conectadas por transformaciones canónicas. Este parámetro por tanto no aparece en las ecuaciones de movimiento clásicas. Este parámetro se denomina párametro de Barbero-Immirzi (BI)
Sin embargo, a nivel cuántico, como vemos en la anterior fórmula, el parámetro aparece en el espectro de los operadores geométricos. Lo que podemos observar es que el valor del área de una superficie está influida por el valor del parámetro BI. Lo malo es que distintas teorías para distintos valores del mismo no están conectadas por transformaciones unitarias y por lo tanto tenemos teorías inequivalentes.
La teoría no proporciona ningún método intrínseco para estimar el valor adecuado del parámetro, así que hemos de recurrir a efectos o fenómenos físicos donde este parámetro tenga incidencia para determinar su valor.
Lo que se propone es calcular la entropía del agujero negro con el problema combinatorio anteriormente expresado y ver que valor del parámetro de BI hace que la entropía calculada en LQG coincida con la de Bekenstein-Hawking.
Resultados:
El número de estados que dan lugar a la entropía y del cual tomaremos su logaritmo para emplear la definición de Boltzmann S=-ln N(A) (N(A) es el número de estados = combinaciones de (j,m) que dan lugar a un área A y a una curvatura consistente con un agujero negro).
Como vemos la entropía sale a primer orden proporcional al área y el parámetro BI (gamma) ha de valer justamente (gamma_c), este es un número que sale directamente de la resolución del problema combinatorio y es independiente. Para obtener el valor correcto del área de Bekenstein-Hawking hay que imponer que el cociente de gammas valga 1.
Otra cuestión es la aparición de una corrección logaritmica. Esta corrección ha sido recuperada por teoría de cuerdas también, y es independiente del parámetro BI.
En el proceso de cuantización surge de manera natural una discretización del espaciotiempo "cuántico". La descrición del espaciotiempo se hace en base de estados cuánticos que no están definidos sobre una variedad continua sino sobre grafos unidimensionales que dan lugar a los conocidos como spin networks.
Los spin networks son "funciones de onda" cuánticas, para definirlas en el espaciotiempo la teoría nos obliga a que las hemos de definir única y exclusivamente sobre grafos, es decir, el espaciotiempo deja de ser algo continuo para solo dar sentido a cantidades y estados definidos en subvariedades unidimensionales denominadas grafos:
- El "espacio" esta compuesto por subvariedades de una dimensión.
- Estas se unen por puntos denominados vértices.
- Los lados que unen vértices se denominan aristas o simplemente lados.
- Para definir las "funciones de onda" o los estados cuánticos de geometría cada lado lleva asociada una etiqueta, que denominaremos j. Esta etiqueta condensa una información muy importante.
Uno de los resultados más famosos de LQG es que los valores posibles de observables geométricos tales como áreas o volúmenes están discretizados:
Esta es una visión de los posibles valores de áreas y voluenes, y una comparación con los niveles de energía discretizados del átomo de hidrógeno.
Lo interesante es que los posibles valores del área de una superficie dados por LQG se puede expresar del siguiente modo:
Esto se ha de entender del siguiente modo: El spin network "pincha" una determinada superficie en un determinado conjunto de puntos. Cada lado del spin network lleva su correspondiente j, y en cada punción la superficie adquiere el área dada por esa fórmula. El área total será la suma para todas las punciones, una imagen aproximada sería:
Agujeros negros en LQG: Una visión efectiva
Por desgracia aún no disponemos en LQG de una propuesta de dinámica del agujero negro aceptada completamente y que se haya demostrada coherente y que recupere a nivel semiclásico las ecuaciones de Einstein. Una discusión completa de este problema y de toda la LQG se puede encontrar en el fabuloso libro de Thomas Thiemann. Esto significa que no podemos identificar los estados correspondientes al producto de un colapso gravitatorio y por lo tanto no podemos hablar de estados de agujeros negros con toda propiedad.
Sin embargo, en cierto límite de la teoría, para agujeros negros "grandes", se puede proponer los siguiente:
- Un agujero negro está definido para un observador exterior por su horizonte.
- El horizonte es una superficie bidimensional de no retorno, traspasar el horizonte obliga indefectiblemente a caer en la singularidad.
- Un observador exterior no puede acceder al interior del horizonte. El horizonte marca la región de desconexión causal entre el interior y el exterior. Por lo tanto, el horizonte es una frontera para el observador exterior.
La propuesta que se emplea en LQG es cuantizar un espaciotiempo con una frontera interna que representa la presencia de un horizonte.
La visión por lo tanto es la siguiente:
- Tendremos los spin networks exteriories.
- Tendremos una frontera bidimensional que representa al horizonte.
- Los spin networks pinchan al horizonte en un numero finito de puntos, que denominaremos punciones.
- La teoría predice dos cosas: El área del horizonte está condensada en dichas punciones, igual que en el caso anterior. Y su curvatura también. Esto quiere decir que la curvatura del horizonte está condensada también en las punciones. De hecho, la curvatura "distribucional" viene dada por un número cuántico m. Este numerito se relaciona con las j's de la misma forma que los números típicos del momento angular, m = -j, -j+1,...., j-1,j.
Por lo tanto por cada punción con una j dada, tenemos 2j+1 posibles valores de m.
A todo esto podemos imponer restricciones:
- Si nuestro horizonte queremos que tenga un área A fijada ---> esto impone restricciones a los posibles valores de las j's.
- Si nuestro horizonte queremos que tenga una topología esférica ----> Esto obliga a que la suma de todas las m's de cada punción sea nula (en realidad un múltiplo entero de 4pi, pero es un detalle tecnico, pero podemos decir que esto es lo que implica la versión cuántica del teorema de Gauss-Bonnet para la esfera)
La discusión de este problema es muy interesante, porque condensa en un mismo problema cuestiones relativas a relatividad general, geometría y teorías de cuánticas de campos topológicas ya que se puede mostrar como en la superficie del horizonte aparece una teoría de Chern-Simons. Otra vez, la mejor referencia es la de Thiemann y el clásico: Ashtekar, Baez, Krasnov (ABK)
Lo fabuloso es que todo el tratamiento geométrico se puede condensar en un problema combinatorio. De hecho es un problema combinatorio muy complicado porque involucra dos ligaduras, el problema se puede formular del siguiente modo:
- Contar las secuencias de (j,m) que son compatibles con un Area fijada del horizonte y con que la suma de m's sea nula.
La cuestión esencial que hay que remarcar es la siguiente:
Si no tenemos en cuenta las características impuestas por la cuantización de un espacio con frontera interna, y en especial por la participación de los difeomorfismos espaciales y su precisa actuación sobre el horizonte y las punciones, no se obtendría un resultado compatible con la entropía de Bekenstein-Hawking. Es decir, que obtener una relación lineal entre la entropía y el área del horizonte no es nada trivial en este problema.
Resultados
En la discusión del problema hemos obviado un detalle:
Si observamos la fórmula del área:
Hay un parámetro gamma ---> Este parámetro es curioso, aparece en la teoría clásica de la Relatividad General al trabajar en las acciones que podemos definir en esta teoría. No es muy importante la presencia de este parámetro a nivel clásico porque su valor es irrelevante. Esto lo que quiere decir es que teorías definidas para distintos valores del parámetro están conectadas por transformaciones canónicas. Este parámetro por tanto no aparece en las ecuaciones de movimiento clásicas. Este parámetro se denomina párametro de Barbero-Immirzi (BI)
Sin embargo, a nivel cuántico, como vemos en la anterior fórmula, el parámetro aparece en el espectro de los operadores geométricos. Lo que podemos observar es que el valor del área de una superficie está influida por el valor del parámetro BI. Lo malo es que distintas teorías para distintos valores del mismo no están conectadas por transformaciones unitarias y por lo tanto tenemos teorías inequivalentes.
La teoría no proporciona ningún método intrínseco para estimar el valor adecuado del parámetro, así que hemos de recurrir a efectos o fenómenos físicos donde este parámetro tenga incidencia para determinar su valor.
Lo que se propone es calcular la entropía del agujero negro con el problema combinatorio anteriormente expresado y ver que valor del parámetro de BI hace que la entropía calculada en LQG coincida con la de Bekenstein-Hawking.
Resultados:
El número de estados que dan lugar a la entropía y del cual tomaremos su logaritmo para emplear la definición de Boltzmann S=-ln N(A) (N(A) es el número de estados = combinaciones de (j,m) que dan lugar a un área A y a una curvatura consistente con un agujero negro).
Como vemos la entropía sale a primer orden proporcional al área y el parámetro BI (gamma) ha de valer justamente (gamma_c), este es un número que sale directamente de la resolución del problema combinatorio y es independiente. Para obtener el valor correcto del área de Bekenstein-Hawking hay que imponer que el cociente de gammas valga 1.
Otra cuestión es la aparición de una corrección logaritmica. Esta corrección ha sido recuperada por teoría de cuerdas también, y es independiente del parámetro BI.