Difeomorfismos

[carroza]

Hola.

En las discusiones sobre gravedad cuántica de esta sección se habla de "Difeomorfismos".
¿Podría alguien explicarnos, a los no expertos en gravedad cuántica ni en física matemática, qué es un difeomorfismo, en general, y para qué sirve, en gravedad cuántica?

Gracias

[Entro]

Re: Difeomorfismos

El concepto de difeomorfismo es bastante bonito.

Imaginemos que tenemos dos espacios M y M', (que no tienen por qué ser espacios vectoriales, de hecho, en general serán variedades. En las variedades no podemos sumar sus elementos, al contrario que los espacios vectoriales donde la suma de sus elementos da otro elemento del espacio, la suma de dos vectores es otro vector.), además supondremos que estos espacios tienen la misma dimensión, para abreviar la dimensión será simplemente con cuantos números podemos identificar un punto de M o de M', (en nuestro espaciotiempo necesitamos cuatro, por lo tanto es de dimensión cuatro).


Ahora imaginemos que tenemos una aplicación $\phi$ que toma puntos de M y los lanza a puntos de M'. Podemos pensar en $\phi$ como un traductor, le damos un punto de M y nos dice que punto de M' le corresponde.

Como sabemos las aplicaciones pueden ser malvadas, a un mismo punto de M le pueden asignar distintos puntos de M', o distintos puntos de M pueden tener asignado el mismo punto de M' a través de la aplicación, etc. Esto es lo que lleva a la clasificación de aplicación inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Un difeomorfismo es aquella aplicación $\phi$ que es biyectiva, es decir, la relación es uno a uno entre los puntos de M y de M'. Además ha de cumplir que es diferenciable, a groso modo que podemos definir sus derivadas de una manera natural y además cumple que la inversa de la aplicación, $\phi^{-1}$ tambien es diferenciable (el que tenga inversa casi es evidente por ser biyectiva).

La cuestión es que el difeomorfismo hace que M y M' sean equivalentes, porque hay una traducción biunívoca entre las mismas. Básicamente el efecto del difeomorfismo es cambiar la apariencia de los espacios sobre los que actua.

Por poner algo visual, un difeomorfismo cambia la manera de ver las coordenadas de los espacios M y M', pero eso da igual, porque siempre podemos invertir la transformación por el difeomorfismo.



En la imagne se ven figuras que representan campos físicos, como se ve, podemos cambiar las coordenadas por difeomorfismos sin cambiar la distribución de los campos, eso es la imagen de una teoría invariante bajo difeomorfismos. Y conlleva a que la física no está comprometida con las coordenadas a pesar de que todas las formulaciones hacen un uso masivo de las mismas y nos da la impresión de que son vitales.

Relatividad General es aquella teoría donde todas las cantidades son covariantes bajo difeomorfismos. Covariante significa que aunque las cantidades cambien, por el "cambio de coordenadas" las ecuaciones físicas mantienen su forma original, algo parecido a lo que le pasa a F=ma cuando hacemos un cambio de sistema inercial, efectuamos el cambio, cambian las posiciones, cambian las velocidades, pero no cambia la aceleración y por tanto la fuerza, y F=ma sigue manteniendo al forma.

Las ecuaciones de RG tienen la particularidad de que no cambian cuando efectuamos un difeomorfismo en el espaciotiempo.

$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=T_{\mu \nu}$

conserva su forma bajo difeomorfismos.

Pero el espaciotiempo tiene una métrica asociada, $g_{\mu \nu}$, que es el aparato que usamos para medir distancias y ángulos, y por tanto áreas y volúmenes. Al efectuar un difeomorfismo la métrica cambia, pero las cantidades que construimos a través de ella, como las ecuaciones de Einstein de RG no.

Esto es muy importante, porque si una teoría es invariante bajo difeomorfismos implica que el concepto de punto bien definido por sus coordenadas pierde sentido. Cualquier sistema de coordenadas es válido si está conectado por un difeomorfismo, así que no tiene sentido hablar de coordenadas (x,y,z,t) ya que un difeomorfismo en general podría mezclarlas todas en otro sistema de coordenadas distinto. Por eso se dice que en relatividad general no tiene sentido global hablar del tiempo.

Esto en cuántica es mortifero, tal y como definimos la cuántica necesitamos de una coordenada t bien definida. Solo hay que ver como se calcula la probabilida de encontrar a una partícula que es una integral a t=const. El problema es que si no tenemos un t definido no podemos definir el producto interno y no podemos hacer cuántica tal y como la conoemos. Ese es el gran problema de la gravedad cuántica, por un lado RG te dice que no hay un t definido por causa de la invariancia bajo difeomorfismo y por otr la cuántica te exige hacer las cuentas a t=cte. Por lo tanto necesitamos de una teoría cuántica que esté definida para situaciones donde preservamos la invariancia bajo difeomorfismo y en eso anda la gente...

Espero haber sido más o menos claro, porque este tema es bastante delicado y yo aún no lo tengo claro del todo.

[carroza]

Re: Difeomorfismos

Gracias.

La explicación es muy buena, y la imagen que cambia es una pasada. No sabia que se podian poner esas imagenes.


Corrigeme si me equivoco: Entonces, un Difeomorfismo es un isomorfismo diferenciable.

Con respecto al problema con el tiempo

"Ese es el gran problema de la gravedad cuántica, por un lado RG te dice que no hay un t definido por causa de la invariancia bajo difeomorfismo y por otr la cuántica te exige hacer las cuentas a t=cte."

En la teoria cuántica de campos, la formulación es totalmente covariante. Por qué dices que "hay que hacer las cuentas a t constante"?

[Entro]

Re: Difeomorfismos

Bueno, en principio se puede hacer una formulación covariante de una teoría cuántica de campos. Pero hay que entender bien los esquemas de cuantización utilizados.

En primer lugar uno puede intentar una cuantización canónica. La idea es identificar las coordenadas de configuración y los momento canónicamente conjugados y convertirlos en operadores que satisfagan los conmutadores canónicos en paralelismo a los paréntesis de Poisson clásicos. Esto obliga a elegir una coordenada temporal bien definida, con lo cual perdemos la invariancia Lorentz de forma manifiesta que está presente en el Lagrangiano y empleamos el Hamiltoniano de la teoría. Aquí podemos definir las cantidades conservadas que son integrales espaciales de las componentes temporales de las corrientes conservadas. Evidentemente para elegir tales componentes y poder definir el producto interno hemos de identificar cual es la componente temporal y eso rompe aparentemente la invariancia Lorentz, aunque sabemos que no es así.

Por otro lado podemos querer mantener la covariancia de la teoría de forma explícita, pero al hacer eso aparecen problemas ya que salen estados de norma negativa, con lo cual tendremos probabilidades negativas y eso incomoda un poco, todo esto se soluciona metiendo campos gohst y nos los tenemos que quitar de encima requiriendo condiciones de consistencia metiendo ligaduras a mano para seleccionar los estados físicos.

Esto es un reflejo del poco sentido que tiene el seleccionar una coordenada temporal o pretender hablar en estos términos.

En QFT la cosa no es muy drámatica porque el Grupo de Poincaré hace posible discernir entre estados de energía negativa y energía positiva y además clasifica las partículas a partir de sus representaciones irreducibles, pero en RG no tenemos dicho grupo con lo cual la cosa se pone esencialmente muy negra.

Saludos

[alshain]

Re: Difeomorfismos

La noción de difeomorfismo $\phi$ como mapa entre dos variedades $\phi : M \rightarrow M^{\prime}$ se aplica sobre todas las variables dinámicas de una acción. Las coordenadas no son variables dinámicas por lo que, intuitivamente, su transformación ha de ser deshecha de forma que sean evaluadas en la variedad original (pullback). Formalmente la mejor forma de entender esto es la noción de derivada de Lie $\mathcal{L}_V$ a lo largo de un campo vectorial $V$. Se define como:

$\mathcal{L}_V A_{\mu} = V^{\alpha} \partial_{\alpha} A_{\mu} + A_{\alpha} \partial_{\mu} V^{\alpha}$

El primer término representa la transformación de $A_{\mu}$ a lo largo de las curvas integrales de un campo vectorial:



Esto significa que todos las variables dinámicas en el espacio-tiempo (en este caso $A_{\mu}$) son movidas a lo largo de las flechas adquiriendo un valor nuevo. El segundo término de la expresión de la derivada de Lie es una transformación de coordenadas de los valores nuevos dados por el campo vectorial que define la transformación a los valores antiguos. Por tanto, una acción es invariante frente a difeomorfismos si y sólo si la derivada de Lie de todas las variables dinámicas o todos los campos tensoriales que aparecen en ella es cero.

La forma usual de explicar esto con palabras más tangibles creo que es decir que los difeomorfismos son transformaciones de coordenadas activas, mientras que las meras transformaciones de coordenadas son pasivas. La mera transformación de coordenadas deja el espacio-tiempo intacto y mueve las coordenadas, mientras que el difeomorfismo mueve todos los campos del espacio-tiempo y deja las coordenadas intactas. Mientras que una transformación de coordenadas nunca puede dar lugar a una simetría dinámica de una acción los difeomorfismos sí pueden y esa es la diferencia principal.

Un saludo.

[Entro]

Re: Difeomorfismos

Bueno, ya que nos metemos en estas profundidades tan bien explicadas por alshain hemos de decir que por construcción todas las teorías verifican una simetría ante difeomorfismos pasivos (meros cambios de coordenadas).

Los difeomorfismos activos son más delicados, estos arrastran a los campos a nuevos puntos del espacio, y estos difeomorfismos no dejan invariantes teorías tales como QED por poner un ejemplo. La única teoría que es invariante dinámica frente a tales transformaciones es relatividad general.

Para ser más claros:

Difeomorfismos pasivos: Representan el mismo objeto, (un campo vectorial o una métrica, etc) en distintos sistemas de coordenadas.

Difeomorfismos activos: Estos relacionan distintos objetos en el mismo sistema de coordenadas. En este sentido los difeomorfismos se toman como desplazmientos dentro de un mismo espacio M.

Para ser más concisos:

Tenemos una métrica en M, esta métrica nos da la distancia entre dos puntos de la variedad, P y Q.

$g:M \times M \rightarrow \mathbb{R}$

$g \rightarrow d_g(P,Q)$

Suponemos que g la hemos obtenido resolviendo las ecuaciones de Einstein.

Ahora efectuamos un difeomorfismo (activo) $\phi:M\rightarrow M$,(por sutilezas de la definición la forma de actuación sobre los puntos de la variedad es del siguiente modo: $P\rightarrow \phi^{-1}(P)$. Donde hemos de entender que hemos "trasladado" el punto P dentro de M.

Si ahora calculamos la distancia entre dos puntos trasladados tendremos: $d_g(\phi^{-1}(P),\phi^{-1}(Q))$. Lo que nos dice la invariancia bajo difeomorfismos activos es que si ahora tenemos una métrica $d_{g'}(P,Q)=d_g(\phi^{-1}(P),\phi^{-1}(Q))$, entonces si g es solución de las ecuaciones de Einstein, g' también lo será.

A esto hace referencia la invariancia que comentaba alshain y es la que está presente en RG.

[Pablo]

Re: Difeomorfismos

Gracias.

La explicación es muy buena, y la imagen que cambia es una pasada. No sabia que se podian poner esas imagenes.


Corrigeme si me equivoco: Entonces, un Difeomorfismo es un isomorfismo diferenciable.

Con respecto al problema con el tiempo

"Ese es el gran problema de la gravedad cuántica, por un lado RG te dice que no hay un t definido por causa de la invariancia bajo difeomorfismo y por otr la cuántica te exige hacer las cuentas a t=cte."

En la teoria cuántica de campos, la formulación es totalmente covariante. Por qué dices que "hay que hacer las cuentas a t constante"?

No un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables, es decir un isomorfismo de variedades diferenciables.

Suponga que X, Y son dos espacios topológicos entonces una aplicación de espacios topológicos es un homeomorfismo si cumple las condiciones:
f es biyectiva
f es continua
f-1 es continua

Entonces para que además sea difeomorfismo el homeomorfismo debe ser diferenciable.

Por ejemplo el borde de un disco y el borde de un cuadrado son homeomorfos mas no difeomorfos.