Divulgación Aplicaciones en Física de complejos

[davinci]

¡Hola! Llevo ya bastante tiempo interesándome por los números complejos, y en especial, por los imaginarios, y me gustaría saber el para qué de una aplicación específica de éstos. Sé que se emplean en Mecánica Cuántica, además de en otras áreas de la Física. Pero me llamó la atención un post de esta misma web en el que se comentaba sobre Relatividad Especial, y se hablaba sobre la consideración del tiempo como una variable imaginaria. Mi duda está en el aspecto general: ¿Para qué sirve considerar una magnitud como una variable imaginaria? ¿Y por qué se considera así? (O sea, no perteneciente al cuerpo de los números reales) Y, ¿qué papel juegan los números imaginarios en la Física?

¡Gracias de antemano! Si no soy muy claro con las preguntas, buscaré alguna forma de plantearlas de una manera distinta.

Para resumir: Mi duda reside en cómo pueden los números imaginarios entrar en juego en la realidad física.

[hennin]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Todo parte de que se asume (es uno de los postulados de la mecánica cuántica) que los estados son vectores de los espacios de Hilbert. Y estos espacios de hilbert estrán construidos sobre $C$.

No lo veas como una maravilla divina sino una forma de simplificar las ideas y la notación. Tampoco quiero menospreciarlo pero quiero decir que se podrían hacer locuras en una descripción totalmente análoga sin entrar en complejos. Por ejemplo con $R^2$ pues son isomorfos.

Saludos.

[davinci]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Bufff de momento no manejo esos conceptos... Pero gracias por contestar hennin. En realidad, me basta con una respuesta a nivel divulgativo de por qué los números imaginarios (su uso) simplifica ideas y cálculos. Y habiéndolos manejado, ¿cómo se imagina uno el plano complejo en la realidad física? Porque supongo que no será tan sencillo como imaginarse el plano cartesiano.

[angel relativamente]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Bueno, sin tener tanta idea como hennin, yo los he usado de manera mucho más simple. Trabajamos con los complejos y aunque no tiene sentido físico luego se lo sacamos a la parte real y a la parte imaginaria, que sí son números reales ambos. Como dice hennin en este caso sería equivalente a trabajar con $\mathbb{R}^2$. El tema donde seguramente lo usarás este año es en electromagnetismo (en concreto, en corriente alterna). Puedes buscar qué papel tienen los complejos en la alterna, y verás como no hay mucho que imaginar.

Saludos

[hennin]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Por establecer una relación ahora que han sacado el tema del electromagnetismo. Hay una diferencia fundamental que es la siguiente. En óptica física, se suele escribir la función de onda en términos de productos de exponenciales complejas. Esto es una forma de abreviar (convenio) pero en mecánica cuántica sí que hay un trasfondo el hecho de que se usen complejos.

Por poner un ejemplo, la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger (con potencial nulo) son exactamente iguales salvo que en ésta última sí aparece una $i$. Esto hace que el comportamiento de las soluciones sea totalmente diferentes. El término complejo hace que permita soluciones oscilantes (debido a la exponencial compleja) mientras que en la ecuación del calor tiende a todo lo contrario (según sean las condiciones iniciales se iguala la temperatura o se acentúa el cambio debido a la exponencial real). También en términos matemáticos hay diferencias, en la ecuación del calor no se puede prolongar las soluciones mientras que en la de Schrödinger sí por simetría.

La siguiente pregunta davinci, a mi modo de ver, sería más por qué se toman los postulados de la mecánica cuántica. A modo divulgativo te recomiendo que podrías leer un poco sobre la interpretación de Copenhague donde en pocas palabras puede decirse que $\left\vert{f(x) } \right\vert{}^2 \dd x$ representa una densidad de probabilidad. Ahora bien, existen otras interpretaciones también válidas y de hecho en la actualidad sigue debatiéndose sobre el postulado de la medida de un observador.

Espero haberte ayudado, saludos

[reti]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Aunque el "R^2" es isomorfo a plano complejo no esta claro que que pueda describirse la teoria cuantica en R^2. La razon esta en que las relaciones entre lo que "se observa", que siempre se supone real, y las variables con las que se obtiene lo que "se observa" estan relacionadas mediante el "i" ... y eso es "chugo".

En la relatividad no parece que ese sea el caso y el uso de los complejos es mas bien formal o por comodidad, como tambien ocurre en la optica o en la teoria electromagnetica, pero en la cuantica parece que ese no es el caso y como digo la relacion es fundamental e ineludible. Quizas se podian definir otras variables ditintas de las usuales ... pero yo no tengo noticias de que nadie lo haya hecho.

[davinci]

Re: Aplicaciones en Física de complejos

Bueno de momento no manejo esos conceptos matemáticos, ni el formalismo de la Mecánica Cuántica (voy a primero, aunque entiendo lo del R2 y el concepto: ``isomorfismo´´). Pero el comentario de reti me ha despejado alguna duda sobre la aplicación de estos en Relatividad. O sea, que son herramientas matemáticas que ayudan a simplificar problemas, pero no son susceptibles de ser visualizadas en la ``realidad física´´ (menos en cuántica) ¿no?, como la podría tener el plano euclídeo.