La paradoja de las dimensiones

[JARC]

Todos habremos en alguna ocasión escuchado o afirmado que en un espacio de tres dimensiones (y el nuestro posee al menos esas tres dimensiones espaciales), podemos tener infinitos espacios planos de dos dimensiones. Bien, la frase ya es incorrecta por el hecho de que el infinito es un concepto matemático o filosófico, pero no físico. En física, el infinito no existe, pero podemos suponer que simplemente pecamos de abuso del lenguaje para decir que podemos tener un número ilimitado de espacios planos de dos dimensiones.
Pero no, la realidad es que físicamente tampoco tenemos un número ilimitado de espacios planos. Verdaderamente, no tenemos ninguno, solo tenemos espacios imaginarios, no reales. En un espacio físico de tres dimensiones, no existe ningún espacio físico de dos dimensiones. Esto resulta verdaderamente sorprendente, pero físicamente es así. La explicación es sencilla: un espacio plano de dos dimensiones tiene longitud y anchura, pero su altura es cero, por lo que su volumen, al multiplicar longitud por altura y anchura, resulta ser cero, por tanto, no tiene existencia en nuestro espacio de tres dimensiones. Todo lo que tenga existencia real en nuestro espacio, tiene que tener un mínimo volumen.
Cuesta aceptarlo, pero es así. Si yo perteneciera a un mundo de dos dimensiones, no tendría volumen ninguno y por tanto no tendría existencia en nuestro mundo tridimensional. Con dos dimensiones, yo no puedo existir en un espacio de tres, solo puedo existir en un mundo de dos, que sería un mundo que no tiene nada que ver con el mío real, sería otro mundo, otro espacio, un universo diferente, otro universo distinto y sin volumen.
¿Cuál es el origen de esta paradoja? Pues muy sencillo: utilizamos las matemáticas como ciencia identificada con la física sin darnos cuenta de que algunos conceptos físicos puede que no sean simultáneamente conceptos matemáticos. Un espacio de dos dimensiones es un concepto matemático y nos lo imaginamos automáticamente como algo real, pero en realidad lo imaginamos con una tercera dimensión sumamente pequeña, infinitesimal si se quiere, y para nosotros eso es un plano de dos dimensiones. Pero no es así, eso es una figura con dos caras paralelas con un cierto volumen, por pequeño que sea, en un espacio de tres dimensiones: es una figura tridimensional. Un espacio con dos dimensiones, es un espacio matemático, teórico. No es un espacio real.
Lo interesante es que esta paradoja de las dimensiones tiene en realidad muchísima más importancia de la que podemos suponer, dado que, de la misma forma, en un teórico espacio de dos dimensiones, no existirían espacios lineales de una dimensión, ya que su superficie sería cero, y en general en un espacio de “n” dimensiones no existirán espacio de “n-1” dimensiones. Y aquí viene lo interesante y al mismo tiempo difícil de aceptar: de la misma forma, en un espacio de cuatro dimensiones espaciales (un espacio que se pueda curvar), no puede existir un espacio de tres dimensiones, por que su cuarta dimensión “w” es igual a cero, con lo que su hipervolumen (X por Y por Z por W) sería nulo. Pero resulta que nosotros existimos realmente, lo que implica que lo que no existe es un espacio físico real de cuatro dimensiones espaciales que contenga a otro real de tres. Esto significa que el supuesto espacio que se puede curvar del que nos habla la teoría general de la relatividad es un espacio matemático, ideal, no tiene existencia física. Lo que, por otra parte, no significa que la teoría general de la relatividad no sea una herramienta de cálculo matemática maravillosamente útil para la física, pero es una herramienta matemática, no una realidad física.
Pensar en términos estrictamente físicos, dejando a un lado las matemáticas, lleva a conclusiones que resultan difíciles de aceptar y al mismo tiempo obliga a otra pregunta: Si nuestro espacio físico no tiene cuatro dimensiones, ¿cómo es posible que se curve?

[Jaime Rudas]

[...] el infinito es un concepto matemático o filosófico, pero no físico. En física, el infinito no existe, [...]

Claro que sí puede existir. Por ejemplo, de acuerdo con lo que actualmente conocemos de la realidad física, el universo bien podría ser infinito.

Esto significa que el supuesto espacio que se puede curvar del que nos habla la teoría general de la relatividad es un espacio matemático, ideal, no tiene existencia física. Lo que, por otra parte, no significa que la teoría general de la relatividad no sea una herramienta de cálculo matemática maravillosamente útil para la física, pero es una herramienta matemática, no una realidad física.
Pensar en términos estrictamente físicos, dejando a un lado las matemáticas, lleva a conclusiones que resultan difíciles de aceptar y al mismo tiempo obliga a otra pregunta: Si nuestro espacio físico no tiene cuatro dimensiones, ¿cómo es posible que se curve?

Es posible porque, para que un espacio sea curvo, no se requiere que esté inmerso en otro espacio de mayores dimensiones, sino que puede ser intrínsecamente curvo. De hecho, cualquier espacio donde se cumplan los 4 primeros postulados de Euclides, pero no el quinto, es un espacio curvo.

[Alriga]

...Si nuestro espacio físico no tiene cuatro dimensiones, ¿cómo es posible que se curve?...

Existe diferencia entre la curvatura intrínseca de una variedad (la variedad está curvada sin necesidad de estar embebida en una variedad de dimensión superior) y la curvatura extrínseca debido a que la variedad está incrustada en una variedad de dimensión superior. Hablamos de ello en el hilo Curvatura del espacio-tiempo, echa un vistazo.

Saludos.

[carroza]

Hola, JARC.

Afirmas que el infinito es un concepto filosófico y matemático, pero no físico. Los estudiantes de física que se encuentren, por ejemplo, con el pozo cuadrado infinito en física cuántica, deberían sentirse perplejos y engañados.

También afirmas que in el espacio fisico tridimensional no existe ningun espacio físico de dos dimensiones. Los investigadores de física de superficies deben sentir que han desperdiciado su vida investigando entes inexistentes.

Bueno, seguro que tienes una argumentación más elaborada, que nos permita debatir contigo estos conceptos.

Mi humilde idea del concepto de infinito en física es simplemente algo mucho más grande que la escala de medida correspondiente. Del mismo modo, algo puntual en física es algo mucho más pequeño que la escala de medida correspondiente. Ambos son conceptos físicos tremendamente importantes para describir la naturaleza.

Con respecto a los espacios bidimensionales en física, son conceptos muy importantes para modelizar sistemas reales, tridimensionales, que se dan en la naturaleza en la que una de las dimensiones espaciales es muy inferior que las otras. Por tanto, no sólo existen en física, sino que son importantes.

Un saludo

[javisot20]

Con respecto a los espacios bidimensionales en física, son conceptos muy importantes para modelizar sistemas reales, tridimensionales, que se dan en la naturaleza en la que una de las dimensiones espaciales es muy inferior que las otras. Por tanto, no sólo existen en física, sino que son importantes.

Estando deacuerdo en los puntos matizados en este último creo estar deacuerdo con JARC.

Si el espacio bidimensional en física es un concepto importante para modelizar sistemas reales, tridimensionales,
eso convierte al espacio bidimensional como algo existente en física, una herramienta abstracta, pero no en algo físico.

Si tengo una hoja de papel puedo afirmar su presencia, pero si reduzco su espesor a 0 deja de existir tal hoja de papel.




Dicho esto le diría a JARC que no sufra mucho por el tema de las idealizaciones ya que son una herramienta potente (además de que las idealizaciones suelen ser el único primer paso posible en muchos casos..)

[Pola]

Muy interesante el asunto.
Con mis respetos para JARC, a mi me parece que no es correcto afirmar que " en un espacio teórico de dos dimensiones no existirán espacios lineales de una dimensión ".
Estoy de acuerdo en que infinitas líneas paralelas no forman un plano. Pero me parece que de ahí no se concluye que no pueda existir una recta dentro de un plano.
Y lo mismo valdría para cualquier otra dimensión.

[Richard R Richard]

Tarde quizá pero doy a debate mi punto de vista.

Todos habremos en alguna ocasión escuchado o afirmado que en un espacio de tres dimensiones (y el nuestro posee al menos esas tres dimensiones espaciales), podemos tener infinitos espacios planos de dos dimensiones.

Hola, primero preguntaría quien asegura que nuestro espacio solo tiene tres dimensiones, leer se lee de todo, y mas para captar lectores.

Das importancia a una acepción un tanto incorrecta del término "infinito"...

Deberías entenderlo como

Todos habremos en alguna ocasión escuchado o afirmado que en un espacio de tres dimensiones (y el nuestro creemos posee al menos esas tres dimensiones espaciales), podemos tener tantos espacios planos como se quiera de dos dimensiones.

y todos entenderíamos básicamente lo mismo, sin volvernos locos con las propiedades matemáticas y no físicas del infinito.

Bien, la frase ya es incorrecta por el hecho de que el infinito es un concepto matemático o filosófico, pero no físico.

Claro , a reclamarle a quien así lo escribe , quizá sin intención de confundirte pero lo hace. Y si no lo has leído y así lo has interpretado, pues la mejor acepción de infinito es la que te he dado y físicamente, no crea ninguna objeción. Por otro lado es la definición que los matemáticos recomiendan, no la que se divulga equivocadamente o se entiende de ese modo.

En física, el infinito no existe, pero podemos suponer que simplemente pecamos de abuso del lenguaje para decir que podemos tener un número ilimitado de espacios planos de dos dimensiones.

Pues si existe, esta bastante lejos y solo en pocos problemas las cosas que suceden allí nos interesan realmente demasiado, pues su contribución a la física real, la cercana a nosotros es despreciable (aunque existente), o bien no considerarla crea un error de calculo que necesitaríamos mas de una vida para hallarlo, para que más intentarlo, repetir la palabra "infinita" como un contable en la cantidad de vidas, se crearía una referencia redundante. Luego de 10-12 dígitos significativos nada en física por ahora hará que cambia el paradigma.

Pero no, la realidad es que físicamente tampoco tenemos un número ilimitado de espacios planos. Verdaderamente, no tenemos ninguno, solo tenemos espacios imaginarios, no reales.

Ahora nos explicas lo que crees que es real o no, si le quieres dar al plano mas sentido que el matemático, vas por mal camino, hay pocas cosas mas pequeñas que las partículas elementales, por lo menos hasta ahora descubiertas, mediciones inferiores no atañen a algún problema físico macroscópico, solo llevar a extremo exponentes matemáticos y de eso no estamos hablando.
Si te cierras y quieres entender cosas como la tangencia a un plano y que una curva (que es otro ente matemático) puede compartir el mismo punto de tangencia, es que no entiendes que en la practicas en algún punto se acaba la modelización, la realidad tiene muchas mas variables (y no hablo de las ocultas) de las que el intelecto y la experimentación puede manejar para dar una explicación sencilla. Así que quédate con los pocos conceptos que si podemos comprender como límite o extremo, superficie, curva, tangencia, volumen, infinitésimo, infinito, etc.

*En un espacio físico de tres dimensiones, no existe ningún espacio físico de dos dimensiones. Esto resulta verdaderamente sorprendente, pero físicamente es así. La explicación es sencilla: un espacio plano de dos dimensiones tiene longitud y anchura, pero su altura es cero, por lo que su volumen, al multiplicar longitud por altura y anchura, resulta ser cero, por tanto, no tiene existencia en nuestro espacio de tres dimensiones. Todo lo que tenga existencia real en nuestro espacio, tiene que tener un mínimo volumen.

Es que ahora estas definiendo lo que es real y lo que no, bajo tu mirada....
Si alguien me explica lo que matemáticamente es un plano, y logro entender la esencia, entonces para mi un plano existe, realmente no me preguntaría si es que físicamente hay planos? acaso importa saberlo para entender si el vector velocidad pertenece al plano que es tangente a la trayectoria? Bueno, con que a algo se le asigne una definición, existe,como nadie en su definición ha dicho que un plano tenga que ser real, pues cumple su definición, por otra parte, que ese algo tenga las propiedades que se afirmen, debe probarse, a priori existe al menos en el imaginario del interlocutor, si las conclusiones que saca debido a esas propiedades le permiten pronosticar como funciona un sistema, es suficiente para la física, aunque nunca podrás darlo por seguro.

Pues muy sencillo: utilizamos las matemáticas como ciencia identificada con la física sin darnos cuenta de que algunos conceptos físicos puede que no sean simultáneamente conceptos matemáticos. Un espacio de dos dimensiones es un concepto matemático y nos lo imaginamos automáticamente como algo real,

Pero disculpa tu solo imaginas que un plano existe físicamente, no se donde has leído que se proponga semejante barbaridad, en física si existe el concepto matemático del plano, para ayudarnos a entender variados problemas, experimentamos con distintos materiales para conseguir superficies que se aproximen al ideal bridando resultados de sus propiedades.

pero en realidad lo imaginamos con una tercera dimensión sumamente pequeña, infinitesimal si se quiere, y para nosotros eso es un plano de dos dimensiones. Pero no es así, eso es una figura con dos caras paralelas con un cierto volumen, por pequeño que sea, en un espacio de tres dimensiones: es una figura tridimensional. Un espacio con dos dimensiones, es un espacio matemático, teórico. No es un espacio real.

Reitero, creo que nadie en la historia ha dicho que existe al menos un plano real... y si lo hubiera de que esta hecho? te lo has preguntado?

Me pregunto que problema te trae idealizar, porque de eso va la cosa de este hilo, acaso subyace la pretensión de derrumbar la validez de la física como ciencia, por valerse de las matemáticas para modelizar?, tu en física pronosticas, si se cumple y lo pruebas todo estará en orden , las herramientas matemáticas que uses para explicar a los que no hicieron nunca el experimento que prueba lo que afirmas, dan un voto de fe en el conocimiento, y así deviene el progreso, no necesito meter el dedo en el enchufe para saber que 220v son peligrosos, sin embargo nadie vio un "voltio" en su vida, y supongo habrás interpretado que la "v" detrás del número 220 era justamente eso, pero si te las puedes arreglar para ver cargas, ... De los dedos en el enchufe de los que se equivocaron también se aprende.

Lo interesante es que esta paradoja de las dimensiones tiene en realidad muchísima más importancia de la que podemos suponer, dado que, de la misma forma, en un teórico espacio de dos dimensiones, no existirían espacios lineales de una dimensión, ya que su superficie sería cero, y en general en un espacio de “n” dimensiones no existirán espacio de “n-1” dimensiones. Y aquí viene lo interesante y al mismo tiempo difícil de aceptar: de la misma forma, en un espacio de cuatro dimensiones espaciales (un espacio que se pueda curvar), no puede existir un espacio de tres dimensiones, por que su cuarta dimensión “w” es igual a cero, con lo que su hipervolumen (X por Y por Z por W) sería nulo.

Ahora en contra de la relatividad de Einstein... veremos a que conclusiones te lleva.

Pero resulta que nosotros existimos realmente, lo que implica que lo que no existe es un espacio físico real de cuatro dimensiones espaciales que contenga a otro real de tres.

Demuestranoslo!!! Que usarías Física , matemáticas o filosofía.

pero es una herramienta matemática, no una realidad física.

Nunca he visto un espacio curvado, ni nunca lo veré, pero si me han explicado lo que es la gravedad, la experimento continuamente y también me explicaron como se calculan sus efectos muy certeramente, bajo "varios", "unos cuantos", "muchos", "demasiados" modelos matemáticos distintos, entonces podrías preguntarte si acaso me creo que alguno de ellos es cierto?, la respuesta es pues ninguno!!!!!, pero me quedo con el que mejor describe los resultados de los experimentos, que se hicieron con lo que entendemos son los mejores instrumentos y patrones.. me creo que es verdad que así funciona la naturaleza, luego en mi caso divulgo como mejor pueda cada predicción. Si hay quienes te dieron a entender que , uno de esos modelos es correcto , pues a ciencia cierta te esta mintiendo, y aunque pueda ser cierto tampoco puede probarlo ni tampoco saber que no existirá a futuro uno mejor..

Pensar en términos estrictamente físicos, dejando a un lado las matemáticas, lleva a conclusiones que resultan difíciles de aceptar y al mismo tiempo obliga a otra pregunta: Si nuestro espacio físico no tiene cuatro dimensiones, ¿cómo es posible que se curve?

Pues la mayoría entiende que tiene 4 dimensiones y que un modelo cartesiano el de líneas rectas, o entiéndelo como curvas de radio infinito( ves lo usas quizá sin saberlo), no sirve como explicación más fiel, para los experimentos realizados, es mejor modelizar que la direccion de los ejes coordenados varia en función de la energía que se halla distribuida en ese espacio-tiempo, haciendo de ese modo que la representación de ese espacio responda a una geometría riemanniana, es decir a un espacio de características curvas, predice que los objetos se muevan cayendo en geodesías y de hecho se puede experimentar y medir dicho radio de curvatura de este espaciotiempo.

[javisot20]

Sin duda al físico no le interesa pelear con el infinito como si le interesa al matemático, el físico habla del infinito para intentar que desaparezca llevándolo todo a una situación "equivalente" sin infinito. Pese al trato diferente tanto el físico como el matemático comparten la misma definición, algo es infinito cuando de ese algo puedes extraer una parte tan grande como el propio algo,
un conjunto es infinito si puede contener subconjuntos que muestren biyección con el propio conjunto.




Sería genial para la física disponer una matemáticas simultaneamente completas, consistentes y decidibles que puedan describir infinitos y la aritmética con la suficiente expresividad (lo más cerca que estamos son los axiomas de tarski pero no generan la aritmética). La realidad es que no podemos tener todo...

[Fortuna]

Algo tarde, pero bueno, doy mi opinión.

Tal paradoja no existe. Como bien indicaba javisot20 no tener movimiento sobre una dimensión, no implica que su medida sea 0. Puedes asumir que toda referencia a la magnitud z es 1. Así el volumen es su superficie al igual que el gasto por tiempo o cualquier otro cualificador de unidades. Todas las objeciones que muestras después desaparecen.