Avanzado Frontera de Bekenstein

[guibix]

Muy buenas a todo el mundo!

Tengo una duda que seguro es culpa de mi ignorancia en el tema y es referente a la frontera de Beckenstein.

Según todas las fuentes que he podido encontrar, esa frontera se expresa como

$$S\leq\dfrac{2\pi k_B RE}{\hbar c}$$

Donde S es el máximo de entropía que puede tener la energía E contenida en el volumen de una esfera de radio R.

Esto llevado al límite de un agujero negro de Schwarzschild nos lleva a la famosísima expresión para su entropía

$$S=\dfrac{k_B c^3}{4\hbar G}A.$$

Y aquí surge mi duda: si bien la entropía de un AN es proporcional al área de su horizonte A (o a $R^2$), la entropía máxima de un volumen sin llegar a saturarse en un AN es proporcional al radio $R$ (o perímetro $2\pi R$) de la esfera y no a su volumen $R^3$ como cabría esperar de la entropía clásica.

Y lo que más me sorprende es que en todas las fuentes de las que se habla de ese límite no se menciona esa discrepancia con la entropía clásica. Esto me lleva pensar que algo no he entendido de todo eso.

Solo se me ocurre que la explicación tiene que ver con la cuántica, pues tampoco entiendo la entropía cuántica nada bien. Pero por ejemplo, la medida del spin solo se puede efectuar en un solo eje (una dimensión) y no en los tres ejes a la vez. Pero tampoco veo que esto sea un argumento demasiado de peso para explicarlo de manera más general.

¿Alguna pista para entender esto?

Muchas gracias!

[javisot20]

Saludos Guibix, desde luego no soy el mejor para estas dudas complejas...pero haciendo un ejercicio para entenderlo yo también, un agujero negro es equivalente a un sistema cuántico, dicho sistema cuántico "reside" en el horizonte de sucesos. (Es la hipótesis con la que se trabaja)

No es necesario tener en cuenta lo que sucede dentro del AN para describir lo que desde el exterior puede percibirse del AN, por tanto, no puede emplearse una noción clásica de volumen para tratar su entropía, su entropía estará asociada a lo que si podemos considerar, que es el área de su horizonte de sucesos.

Al negar que cierto AN es equivalente a un sistema cuántico o que dicho sistema reside también en el interior del AN deberíamos obtener que su entropía no es para nada razonable.


(Entiendo que no resuelvo tu duda y que necesitas un desarrollo exacto, estoy buscando algún vídeo o link que trate la diferencia entre entropías pero no encuentro...)

[guibix]

Gracias javisot20, creo que entiendo lo que me comentas y es precisamente el razonamiento (o uno de ellos) que lleva al principio holográfico.

En el caso de la entropía para un AN, creo que lo entiendo más o menos. El problema que tengo es precisamente con la entropía para un volumen que no tiene porqué tener un AN, o al menos para una región donde la densidad media no llega a la crítica para que toda la región colapse en uno.

Para ello se usa la primera ecuación y en teoría sirve para cualquier sistema de baja energía donde la gravedad no tiene porqué influir. Y en donde la entropía máxima para una energía dada solo depende del radio de la esfera que contiene dicha energía.

La duda es que cabría esperar que la entropía de un sistema así debería depender del volumen de la región, como en el límite clásico, pero no es así.

Quizás la pregunta es si la entropía en cuántica sigue el mismo patrón. De entrada, y por lo poco que sé, la entropía de von Neumann depende del número de estados pero no veo una relación con el volumen. O sea:

¿La entropía máxima de von Neumann para una cantidad de energía depende del volumen de la región ($R^3$) o de su radio (R)?

[javisot20]

¿La entropía máxima de von Neumann para una cantidad de energía depende del volumen de la región ($R^3$) o de su radio (R)?

Pues en esto me pillas pero tenía entendido que dependía de la matriz densidad, igual alguien puede ayudarnos.

[guibix]

...tenía entendido que dependía de la matriz densidad...

Sí, y supongo que los estados puros tienen menos entropía que los estados mixtos. Es solo que no veo como relacionarlo con el volumen del sistema

¿Cómo crece la entropía de un mismo sistema si solo se cambia el volumen de la región de estudio?

[javisot20]

Aviso de antemano que estoy como tú, supongo que la clave es la distribución de energía, no basta con especificar un cierto radio o volumen, en cuántica además hay que especificar una distribución ya que la energía puede estar distribuida en la esfera de manera uniforme (con lo que la entropía es máxima) o concentrada en un punto.

Diría que la entropía en el caso cuántico no depende "fuertemente" de un cierto radio o volumen, depende fuertemente de la información de la matriz densidad.

Si decimos que para un cierto sistema su entropía depende estrictamente del volumen estamos asumiendo que la distribución de energía es siempre uniforme o que hablamos de entropía clásica.

[guibix]

Si decimos que para un cierto sistema su entropía depende estrictamente del volumen estamos asumiendo que la distribución de energía es siempre uniforme o que hablamos de entropía clásica.

Sí, seguramente me he expresado mal también por lo pez que llevo el tema. La primera fórmula es de la entropía máxima que puede tener el sistema de cierto volumen y energía. O sea, la entropía de una distribución uniforme. Pero es que esa es la entropía que en termodinámica clásica es proporcional al volumen y aquí no.

Por cierto, aunque estés como yo en estos temas, te agradezco la retroalimentación que me aporta el debate, pues sabrás cosas que yo no sé y viceversa. No deja de ser muchísimo mejor que conversar conmigo mismo, jeje.

Un saludo!

[javisot20]

Pero es que esa es la entropía que en termodinámica clásica es proporcional al volumen y aquí no.

Diría que es un abuso de lenguaje decir que en termodinámica clásica la entropía es proporcional al volumen, es proporcional a factores más complejos que se asumen de una determinada manera para que con especificar el volumen baste.

La expresión de la frontera de Bekenstein aparenta ser una expresión semiclásica, pero no estoy seguro, lo busco.

[guibix]

Diría que es un abuso de lenguaje decir que en termodinámica clásica la entropía es proporcional al volumen, es proporcional a factores más complejos que se asumen de una determinada manera para que con especificar el volumen baste.

Sí es abuso decirlo sin más. Pero un mismo sistema con la misma energía y contenido aumenta sus grados de libertad si aumenta el volumen de manera proporcional a él. Claro que si cambias el contenido o la energía eso ya no sirve.

La expresión de la frontera de Bekenstein aparenta ser una expresión semiclásica, pero no estoy seguro, lo busco.

Quizás es semiclásica en el sentido que sirve para sistemas grandes (creo). Pero supongo que si hablamos de sistemas cuánticos pequeños puede que ya no sirva. Aún así la $\hbar$ indica una relación íntima con la cuántica y tiene más de cuántica que de clasica.

Me parece que surgió para medir el crecimiento de la entropía de un AN. Al añadir objetos normales (no ANs) a un AN, estos objetos tienen una entropía que se mide con éste límite.
Desconozco el régimen de utilidad de esta frontera pero viene a medir la cantidad de información necesaria para describir todos los estados posibles de un sistema con una energía dada en un volumen dado.

Puede que sea una sobresimplificación de la entropía real pero tampoco se menciona en ninguna fuente que haya podido encontrar. En todas ellas la definen como la entropía máxima "verdadera" y eso es precisamente lo que me trae de cabeza. No aparece por ninguna parte ninguna aclaración o nota que diga lo contrario o que restringa su uso en ciertos ámbitos.