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Muchas veces se oye por aquí y por allá cosas que a primera vista son maquinarias matemáticas por poca gente (y ciertamente lo son), como por ejemplo la tan traida y llevada geometría no conmutativa. Esta geometría, que efectivamente no es una cosa fácil de estudiar y que suena a hechicería en la mayoría de los casos, esta rodeada del misterio de las supercuerdas, las supergravedades y las gravedades cuánticas de todo tipo. Sin embargo, lo mejor de todo es que cosas como esta se pueden ver realizadas en sistemas físicos realizables y bien entendidos. Y lo más importante, manipulables experimentalmente. Evidentemente que para un entendimiento profundo del tema hay que invertir un poco de tiempo en estudiar esta geometría no conmutativa. Pero para perderle un poco el miedo y ver al menos de donde sale en un sistema físico simple y natural... que mejor que un ejemplito para observar la aparición natural de una aparente entelequia como las non-commutative geometries (en inglés impresiona más...)
Supongamos una partícula de carga e y masa m. Supongamos además que tenemos un campo magnético homogéneo B en el eje z (como no podía ser de otra manera). Describir el movimiento de esta partícula es lo que se conoce como el problema de Landau.
Es fácil ver que el Lagrangiano de este sistema es:
El Hamiltoniano en este caso sería:
En este sistema el momento canónico es , por lo tanto el Hamiltoniano es simplemente:
Esto justamente implica que el campo magnético simplemente no contribuye a la energía del sistema.
Para resolver el problema cuántico asociado hemos de elegir un potencial vector que nos de un campo vectorial homogéneo en z. Es decir tenemos que satisfacer:
Podemos hacer una elección del potencial simple, lo que se conoce como elección de un gauge, y por simplicidad tomaremos:
que satisface la expresión rotacional anterior como es evidente.
Eligiendo este gauge, el Hamiltoniano queda (en la primera forma):
Dado que el Hamiltoniano no depende de las coordenadas y o z, es evidente que conmuta con los correspondientes momentos .
Podemos entonces decir que dado un estado propio del Hamiltoniano completo del sistema dicho estado también es propio de los anteriores momentos:
Entonces podemos escribir:
Notemos que tiene dimensiones de longitud.
Además el Hamiltoniano total se puede considerar que ha sido separado en una componente z que no está cuantizada desacoplada de un sistema bidimensional en el plano x-y. Por lo tanto este sistema nos dice que el movimiento en el plano XY es independiente del Z y que la partícula está condenada a moverse en un sistema bidimensional. Lo cual de por sí ya es algo asombroso.
Pero además lo interesante es que la parte del Hamiltoniano en XY (lo volveré a llamar H porque a partir de ahora la parte en z no aparecerá por ser irrelevante):
no es más que el Hamiltoniano de un oscilador armónico de frecuencia cuya posición de equilibrio está en .
Por lo cual, los autoestados del sistema vienen dados por las etiquetas de un oscilador cuántico, la típica n y además por una etiqueta adicional (el py conmuta con H por tanto es un buen número cuántico).
La energía del sistema viene dada por:
por lo tanto, el sistema es degenerado, ya que a una n le corresponden estados con distinta . Esto que acabamos de encontrar son los conocidos niveles de Landau. Las funciones de onda en el espacio XY vienen dadas por:
Donde las son las funciones de onda usuales del oscilador armónico.
Esta función de donda se puede entender como la siguiente proyección: , donde .
Los niveles de Landau están separados por . ¿Qué pasa si hacemos B muy grande? Pues que esencialmente la separación entre niveles es insalvable (con las energías que se puede extraer del medio por poner un ejemplo a temperaturas usuales) por lo tanto el único nivel relevante en este caso es el nivel de Landau más bajo (Lowest Landau Level, LLL). Es decir, . El límite B infinito es análogo a tomar m igual a cero. Por lo tanto, es fácil escribir un lagrangiano propio para el LLL:
Usualmente, en los problemas reales se introduce un potencial V(x,y) para representar impurezas del plano donde se dearrolla el movimiento.
Esto tiene toda la pinta de:
Además es simple concluir que el momento canónico asociado a la variable es (y viceversa). Por lo tanto nos encontramos con el hecho de que:
o lo que es lo mismo,
Por lo tanto el espacio en el que se está moviendo la partícula es no-conmutativo.
Este tipo de sistemas son realizables, de hecho, el efecto Hall cuántico está fundamentado esencialmente en los niveles de Landau de un sistema de cargas en un plano metálico. Este sistema se puede estudiar desde la perspectiva de la geometría no conmutativa.
Supongamos una partícula de carga e y masa m. Supongamos además que tenemos un campo magnético homogéneo B en el eje z (como no podía ser de otra manera). Describir el movimiento de esta partícula es lo que se conoce como el problema de Landau.
Es fácil ver que el Lagrangiano de este sistema es:
El Hamiltoniano en este caso sería:
En este sistema el momento canónico es , por lo tanto el Hamiltoniano es simplemente:
Esto justamente implica que el campo magnético simplemente no contribuye a la energía del sistema.
Para resolver el problema cuántico asociado hemos de elegir un potencial vector que nos de un campo vectorial homogéneo en z. Es decir tenemos que satisfacer:
Podemos hacer una elección del potencial simple, lo que se conoce como elección de un gauge, y por simplicidad tomaremos:
que satisface la expresión rotacional anterior como es evidente.
Eligiendo este gauge, el Hamiltoniano queda (en la primera forma):
Dado que el Hamiltoniano no depende de las coordenadas y o z, es evidente que conmuta con los correspondientes momentos .
Podemos entonces decir que dado un estado propio del Hamiltoniano completo del sistema dicho estado también es propio de los anteriores momentos:
Entonces podemos escribir:
Notemos que tiene dimensiones de longitud.
Además el Hamiltoniano total se puede considerar que ha sido separado en una componente z que no está cuantizada desacoplada de un sistema bidimensional en el plano x-y. Por lo tanto este sistema nos dice que el movimiento en el plano XY es independiente del Z y que la partícula está condenada a moverse en un sistema bidimensional. Lo cual de por sí ya es algo asombroso.
Pero además lo interesante es que la parte del Hamiltoniano en XY (lo volveré a llamar H porque a partir de ahora la parte en z no aparecerá por ser irrelevante):
no es más que el Hamiltoniano de un oscilador armónico de frecuencia cuya posición de equilibrio está en .
Por lo cual, los autoestados del sistema vienen dados por las etiquetas de un oscilador cuántico, la típica n y además por una etiqueta adicional (el py conmuta con H por tanto es un buen número cuántico).
La energía del sistema viene dada por:
por lo tanto, el sistema es degenerado, ya que a una n le corresponden estados con distinta . Esto que acabamos de encontrar son los conocidos niveles de Landau. Las funciones de onda en el espacio XY vienen dadas por:
Donde las son las funciones de onda usuales del oscilador armónico.
Esta función de donda se puede entender como la siguiente proyección: , donde .
Los niveles de Landau están separados por . ¿Qué pasa si hacemos B muy grande? Pues que esencialmente la separación entre niveles es insalvable (con las energías que se puede extraer del medio por poner un ejemplo a temperaturas usuales) por lo tanto el único nivel relevante en este caso es el nivel de Landau más bajo (Lowest Landau Level, LLL). Es decir, . El límite B infinito es análogo a tomar m igual a cero. Por lo tanto, es fácil escribir un lagrangiano propio para el LLL:
Usualmente, en los problemas reales se introduce un potencial V(x,y) para representar impurezas del plano donde se dearrolla el movimiento.
Esto tiene toda la pinta de:
Además es simple concluir que el momento canónico asociado a la variable es (y viceversa). Por lo tanto nos encontramos con el hecho de que:
o lo que es lo mismo,
Por lo tanto el espacio en el que se está moviendo la partícula es no-conmutativo.
Este tipo de sistemas son realizables, de hecho, el efecto Hall cuántico está fundamentado esencialmente en los niveles de Landau de un sistema de cargas en un plano metálico. Este sistema se puede estudiar desde la perspectiva de la geometría no conmutativa.