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La mecanica cuántica se formula en un espacio de Hilbert, que en esencia es un espacio vectorial. La parte importante es que tenemos a nuestra disposición un producto interno Hermítico en dichos espacios. Los observables de un sistema físico vienen dados matemáticamente por operadores lineales autoadjuntos (en general) sobre dicho espacio de Hilbert y los estados son los puntos del Hilbert del que estamos hablando.
La evolución temporal viene dado por el flujo de un operador conocido como Hamiltoniano, que determina dicha evolución por una ecuación lineal.
Desde el punto de vista clásico un sistema viene descrito por un espacio de fases, que es una variedad diferenciable. Los puntos de este espacio determinan los estados del sistema. Los observables, en este caso, vienen representados por funciones sobre el espacio de fases y cada una de ellas determina un campo vectorial. Dicho espacio viene dado con una estructura simpléctica y los flujos asociados a los campos vectoriales de los observables han de preservar dicha estructura.
La evolución temporal viene dada por el flujo de un observable denominado Hamiltoniano.
Así pues las formulaciones clásicas y cuánticas se diferencian en:
formulación clásica = geométrica y no-lineal.
formulación cuántica = algebraica y lineal.
Sin embargo aquí estamos olvidando un punto importante. Si bien es cierto que un vector en el espacio de Hilbert determina un estado, el contrario no es cierto. Un estado puede venir dado por diversos vectores que se diferencian en una multiplicación por un número complejo (generalmente una fase). Por lo tanto, un estado en realidad viene determinado por un rayo (en el sentido proyectivo) en el espacio de Hilbert. Así pues el espacio de estados cuánticos de un sistema es más bien un espacio de Hilbert proyectivo, y este espacio es una variedad diferenciable.
Generalmente este hecho se soslaya ya que las fases no suelen ser de interés en los problemas aplicados, sin embargo en ciertas ocasiones son de manifiesta importancia.
Veamos el impacto que puede tener la discusión anterior.
Para ello imaginemos que el espacio de Hilbert se puede considerar un espacio vectorial real donde hay definida una estructura compleja J que implementa la multiplicación por la unidad imaginaria i. (Esto es analogo a considerar como con una unidad imaginaria i cuyo efecto es rotar los vectores noventa grados en la dirección de las agujas del reloj).
Por lo tanto ahora podemos considerar la descomposición del producto Hermítico usual en cuántica en parte real y parte imaginaria:
Dado que
Es fácil comprobar que se tiene que satisfacer:
Además dado que el producto hermítico es definido positivo, esta propiedad ha de ser heredada por G.
Por lo tanto podemos considerar G como una métrica Riemanniana y a una forma simpléctica.
Todo esto para qué sirve o que importancia tiene. En realidad muy poca... salvo por el hecho de que:
1.- Dado un espacio vectorial complejo que dispone de un producto interno real G siempre podemos definir una forma bilineal antisimétrica, correspondiente a la omega. Esto es lo que se llama una forma de Kähler.
2.- El valor esperado de un observable F sobre un estado se puede expresar como
3.- Si uno intenta calcular el valor esperado del conmutador de dos observables F y K, encuentra que es exactamente el paréntesis de Poisson definido por la parte antisimétrica bilineal del producto Hermítico (que es de hecho una forma simpléctica y todo cobra sentido).
Si uno emplea estas estructuras puede formular la mecánica cuántica en términos puramente clásicos sobre el espacio de Hilbert proyectivo. Bueno, no tan puramente clásicos, la diferencia crucial es que mientras que en un espacio de fases clásico típico uno tiene a su disposición una estructura simpléctica, en el caso cuántico además aparece una estructura Riemanniana. Además la formulación está intrínsecamente relacionada con valores esperados, ya que estas funciones son las que generan los campos vectoriales de interés. De hecho se puede comprobar que la ecuación de Schrödinger en esta formulación es formalmente idéntica a las ecuaciones de Hamilton clásicas donde la funcion generatriz (del campo vectorial Hamiltoniano de interés) viene dada por el valor esperado del operador Hamiltoniano.
Esta formulación es interesante para aspectos relacionados con la información cuántica y esta por construir y por sondear...
http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906086
La evolución temporal viene dado por el flujo de un operador conocido como Hamiltoniano, que determina dicha evolución por una ecuación lineal.
Desde el punto de vista clásico un sistema viene descrito por un espacio de fases, que es una variedad diferenciable. Los puntos de este espacio determinan los estados del sistema. Los observables, en este caso, vienen representados por funciones sobre el espacio de fases y cada una de ellas determina un campo vectorial. Dicho espacio viene dado con una estructura simpléctica y los flujos asociados a los campos vectoriales de los observables han de preservar dicha estructura.
La evolución temporal viene dada por el flujo de un observable denominado Hamiltoniano.
Así pues las formulaciones clásicas y cuánticas se diferencian en:
formulación clásica = geométrica y no-lineal.
formulación cuántica = algebraica y lineal.
Sin embargo aquí estamos olvidando un punto importante. Si bien es cierto que un vector en el espacio de Hilbert determina un estado, el contrario no es cierto. Un estado puede venir dado por diversos vectores que se diferencian en una multiplicación por un número complejo (generalmente una fase). Por lo tanto, un estado en realidad viene determinado por un rayo (en el sentido proyectivo) en el espacio de Hilbert. Así pues el espacio de estados cuánticos de un sistema es más bien un espacio de Hilbert proyectivo, y este espacio es una variedad diferenciable.
Generalmente este hecho se soslaya ya que las fases no suelen ser de interés en los problemas aplicados, sin embargo en ciertas ocasiones son de manifiesta importancia.
Veamos el impacto que puede tener la discusión anterior.
Para ello imaginemos que el espacio de Hilbert se puede considerar un espacio vectorial real donde hay definida una estructura compleja J que implementa la multiplicación por la unidad imaginaria i. (Esto es analogo a considerar como con una unidad imaginaria i cuyo efecto es rotar los vectores noventa grados en la dirección de las agujas del reloj).
Por lo tanto ahora podemos considerar la descomposición del producto Hermítico usual en cuántica en parte real y parte imaginaria:
Dado que
Es fácil comprobar que se tiene que satisfacer:
Además dado que el producto hermítico es definido positivo, esta propiedad ha de ser heredada por G.
Por lo tanto podemos considerar G como una métrica Riemanniana y a una forma simpléctica.
Todo esto para qué sirve o que importancia tiene. En realidad muy poca... salvo por el hecho de que:
1.- Dado un espacio vectorial complejo que dispone de un producto interno real G siempre podemos definir una forma bilineal antisimétrica, correspondiente a la omega. Esto es lo que se llama una forma de Kähler.
2.- El valor esperado de un observable F sobre un estado se puede expresar como
3.- Si uno intenta calcular el valor esperado del conmutador de dos observables F y K, encuentra que es exactamente el paréntesis de Poisson definido por la parte antisimétrica bilineal del producto Hermítico (que es de hecho una forma simpléctica y todo cobra sentido).
Si uno emplea estas estructuras puede formular la mecánica cuántica en términos puramente clásicos sobre el espacio de Hilbert proyectivo. Bueno, no tan puramente clásicos, la diferencia crucial es que mientras que en un espacio de fases clásico típico uno tiene a su disposición una estructura simpléctica, en el caso cuántico además aparece una estructura Riemanniana. Además la formulación está intrínsecamente relacionada con valores esperados, ya que estas funciones son las que generan los campos vectoriales de interés. De hecho se puede comprobar que la ecuación de Schrödinger en esta formulación es formalmente idéntica a las ecuaciones de Hamilton clásicas donde la funcion generatriz (del campo vectorial Hamiltoniano de interés) viene dada por el valor esperado del operador Hamiltoniano.
Esta formulación es interesante para aspectos relacionados con la información cuántica y esta por construir y por sondear...
http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906086
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