Divulgación Cilindro "Platónico"

[nachofrades]

Esta es una pregunta que me hago desde que tenía 10 años y ahora que he encontrado este foro tan agradable voy a plantearla a ver si me lo podeis aclarar, advierto que es un experimento mental, de ahí lo de "Platónico", en la práctica no se pueden construir piezas perfectas, vamos al lio:


Tenemos un cilindro de un material perfectamente rígido y con una dureza superior a la del Diamante, mide 5 cm. exactos de diámetro y es de una geometría perfecta, 5 con infinitos ceros decimales, o "0" periodo.

Y tenemos un cubo de 10 cm. de lado con un agujero cilíndrico de 5 cm. exactos de nuevo.

La pregunta es: ¿Podríamos meter el cilindro en el hueco? midiendo ambos exactamente los mismo?

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Y ahora, si la mecánica ha avanzado 10.000 años y se pueden construir esas piezas, ¿en la práctica se podría meter el cilindro en el agujero? o los electrones (chocarían) y lo impedirían...

Es un pregunta que me intriga enormemente...

[xXminombreXx]

Re: Cilindro "Platónico"

Bueno, creo que el tema está en medir esas distancias, porque incluso aunque fuésemos capaces de crear el cilindro y el cubo con esas dimensiones, ¿desde dónde empiezas a contar? Si cuentas la distancia desde el límite externo de los átomos, entonces sí, si la cuentas desde el medio o desde el límite interno, en ambos casos chocan.

Más prácticamente, supongo que las fuerzas electromagnéticas entre los átomos, si las piezas están medidas tan perfectamente, incluso con un poco de holgura, no permitirían juntarlas tanto.

Un saludo.

[arivasm]

Re: Cilindro "Platónico"

Tenemos un cilindro de un material perfectamente rígido.... mide 5 cm. exactos de diámetro y es de una geometría perfecta, 5 con infinitos ceros decimales

Un viejo chiste de físicos dice que "no tiene sentido preguntarse de qué color es la barba del rey de los Estados Unidos". Teniendo en cuenta que el radio de un átomo, definido como la distancia media entre el núcleo y un electrón, es del orden de $10^{-10}{\rm m}$ y que el cilindro estará compuesto de átomos, ya nos tropezamos con un primer límite en la precisión.

El segundo límite, y mucho más tosco aún, para ese 5,000000000... estará impuesto por la vibración de los átomos del sólido, debida a la agitación térmica. Deberíamos hacernos la pregunta para el cero absoluto de temperatura. A cualquier otra, y eso lo sabemos desde pequeños, habrá un valor diferente para cualquier dimensión de las piezas (en realidad, para el valor medio de la dimensión considerada) y también una incertidumbre estadística, claro está.

De todos modos, podemos hacer el juego de aquel anuncio que decía "acepto pulpo por animal de compañía" y transformar la pregunta del modo siguiente: supongamos que con una tecnología perfecta lográsemos extraer de un cubo (este no importa que sea perfecto en su forma) que posee una ordenación cristalina sin ningún tipo de impurezas, una porción cilíndrica lo más perfecta posible. ¿Podríamos volver a introducirla?

A primera vista, parece que la respuesta lógica sea un sí: tómese la película de la extracción de la pieza; póngase marcha atrás; ¿hizo falta realizar trabajo/aplicar una fuerza para extraer el cilindro? sí, claro; pues entonces, al introducirlo habrá que realizar el trabajo/fuerza opuesto/a.

Sin embargo, la Termodinámica nos va a marcar diferencias, que no necesariamente implicarán que el proceso sea imposible, sino que tendrá un coste diferente. En definitiva, el coste energético de la película en un sentido no será igual al opuesto del sentido contrario.

De todos modos, pongámonos en el caso más puro: las piezas están casi al cero absoluto de temperatura; el proceso de reintroducción se realizará tomándose todo el tiempo del mundo (en Física suele decirse que se hará de manera cuasiestática). ¿Cómo podemos saber si será posible? Muy sencillo: evaluando la energía que hay que poner en juego, si es infinita la respuesta es "no", si es finita, será un "sí". Y está muy claro que no es infinita: la energía de los dos cuerpos por separado, en un estado intermedio cualquiera de la introducción y en en el estado final será la de un sistema de átomos, todo lo roñoso y difícil que queramos, pero un sistema, tan feo o tan bonito como cualquiera de los objetos que nos rodean. Trácese el diagrama energía-distancia introducida. No tengo ni idea de qué forma podrá tener, pero sí tengo claro que en ningún momento habrá asíntotas verticales (valores infinitos, vamos). No sé si tendrá barreras energéticas, ni si será ascendente o descendente. Pero sí tengo clarísimo que la respuesta escrita en él no será un "imposible".

Por cierto, aunque le añadamos los términos que la Termodinámica nos imponga tampoco cambiará nada sobre la finitud de la energía. Ni tampoco porque la temperatura no sea 0 y los átomos se agiten. En el peor de los casos habrá que emplear, con un coste energético finito, la fuerza bruta y mover unos cuantos átomos descarriados a su sitio...

Por tanto, en esta pregunta sí hay un imposible: los objetos "perfectos" que son el centro de la cuestión.

[nachofrades]

Re: Cilindro "Platónico"

JAJA, sabía que no era fácil, pero si quitamos la "platonicidad" de los elementos, la cosa no tiene gracia, es más una pregunta en dos partes: teórica y práctica, en la práctica habría que recurrir a un material muy poco utilizado por los Físicos Experimentales, el "Martillo"...

En la "Platónica" No hay átomos, no hay temperaturas, no hay "átomos descarriados" (Eso me ha gustado), Son dos piezas ideales totalmente macizas en un mundo ideal.

En la práctica esto es de todo punto imposible de llevar a cabo, y no cabría pues los electrones se tendrían que "tocar" en su camino, pero esto lleva a una paradoja que no es tal, en todo bloque, por ejemplo una piedra grande, hay una sección cilíndrica "perfecta" "metida dentro implícitamente" pero no es paradoja porque es más pequeña que el hueco que dejaría al salir, porque los átomos están separados...

Otra cosa sería hacer el experimento llevado a un grado muy superior de peligro, y hacer el corte en una Estrella de Neutrones... ¿Cabría entonces?

Así pues resumo:

- En un sólido ideal cabría?
- En una Estrella de Neutrones real pero "congelada en tiempo y espacio" cabría?

Mis apuestas son NO y SI respectivamente.

Si que es verdad eso de la barba del Rey de USA, es un simple juego...

[arivasm]

Re: Cilindro "Platónico"

Muy bueno lo del martillo...

Perdona que no aporte nada más, pero o lo ponía o reventaba.

[nachofrades]

Re: Cilindro "Platónico"

JAJAJAJA, es la única herramienta que "hace comprender" a las demás cual es su posición exacta...

[arivasm]

Re: Cilindro "Platónico"

Ya puestos. ¿Qué es lo que te hace pensar que el cilindro platónico no entraría en el agujero platónico? ¿Acaso en el mundo de lo platónico no tiene cabida eso de meter cilindros en agujeros?

[nachofrades]

Re: Cilindro "Platónico"

Me he imaginado miles de veces el punto de contacto... aparte de que la alineación debería ser también Platónica, una vocecita interior (Que formal y matemáticamente aplastante eh?) me dice que "chocarían" pues el último trozo de supersólido-cilindro estaría exactamente al mismo nivel que el último trozo de supersólido-agujero... y por muy Platónico que sea, no encajarían., Permitidme un momento...

Ya estoy aquí, que se note que me dedico a las Bellas Artes, no hay cosa que un dibujo no aclare:

Esto es lo que tenemos, tan Platónico como que es digital:

Y un aumento "Infinito" del punto de contacto:

Considerando que podemos partir el eje horizontal en píxels (Platónicos) digamos que si un píxel puede estar al lado del otro, también puede "caber"... (Sin tener en cuenta rozamientos aire encapsulado, temperaturas ni nada...)

Pero este divertido juego haría que el mismísimo Platón, ya cabreado, tuviera que recurrir a la Maza, sin éxito alguno, según mi opinión. Sería un juego paradójico, cabría pero no se podría meter, porque habría que mantener una alineación tan perfecta que desesperaría a todos los jugadores, que perderían su "Platonismo" y se decantarían por la Fuerza Bruta...

Sería imposible meter el cilindro por la propia geometría (La Alineación de los Ejes)

Y en un caso real es imposible meterlo, electrones rozadores, átomos díscolos, presión de aire atrapado, temperatura, deformaciones del material, impurezas, Alineación ultra-perfecta, imposibilidad de lubricación..., rozamiento tendente a infinito...

Mi Apuesta ahora es un No en los dos casos, en el mundo real lo veo imposible, y en el mundo platónico sigo creyendo que no se puede meter una "pared" por una "pared" que es ella misma... aunque caber, quepa...

En Resumen, cabe, pero no se puede meter...

[xXminombreXx]

Re: Cilindro "Platónico"

En el caso platónico de que ese pudiese existir, ¿por qué no podríamos también mantener la alineación perfecta?

[guibix]

Re: Cilindro "Platónico"

Buenas,

Matemáticamente hablando, cualquier segmento, o más bien intervalo, tiene unos extremos que pueden estar o no incluidos en el intervalo. En tu ejemplo hay un extremo en el 0 y otro en el 5cm, esto se puede expresar de cuatro maneras (0,5),(0,5],[0,5) y [0,5]. Esto es que [0,5] incluye los extremos, es decir, se incluyen los puntos 0 y 5, y en (0,5) está todo el intervalo excepto los puntos 0 y 5. Los otros dos son las demás combinaciones.

Los cuatro casos miden exactamente 5cm solo con uno o dos puntos de diferencia, o sea, del mismo tamaño, pero no idénticos matemáticamente (cosas más raras se han visto).

Solo un objeto (platónico) que ocupa exactamente el espacio de un intervalo (0,5) cabe en un agujero (platónico) de intervalo [0,5] sin superponerse. Los demás casos se superponen por al menos un punto, por lo que no caben.

Hay objetos matemáticos que ya te dicen por su definición si están o no incluidos los extremos, todo está en como defines los objetos matemáticos. Pero si tu defines el objeto des del principio tú decides si cabe o no decidiendo si los extremos están o no en el intervalo.

Saludos.

[arivasm]

Re: Cilindro "Platónico"

...rozamiento tendente a infinito...

No creo. El rozamiento será una función acotada de la superficie de contacto.

[nachofrades]

Re: Cilindro "Platónico"

En el caso platónico de que ese pudiese existir, ¿por qué no podríamos también mantener la alineación perfecta?

Lo explica perfectamente guibix, lo de la alineación si se puede conseguir pero no por humanos, era una pequeña broma sobre filósofos helénicos usando martillos para defender sus teorías...

Buenas,

Matemáticamente hablando, cualquier segmento, o más bien intervalo, tiene unos extremos que pueden estar o no incluidos en el intervalo. En tu ejemplo hay un extremo en el 0 y otro en el 5cm, esto se puede expresar de cuatro maneras (0,5),(0,5],[0,5) y [0,5]. Esto es que [0,5] incluye los extremos, es decir, se incluyen los puntos 0 y 5, y en (0,5) está todo el intervalo excepto los puntos 0 y 5. Los otros dos son las demás combinaciones.

Los cuatro casos miden exactamente 5cm solo con uno o dos puntos de diferencia, o sea, del mismo tamaño, pero no idénticos matemáticamente (cosas más raras se han visto).

Solo un objeto (platónico) que ocupa exactamente el espacio de un intervalo (0,5) cabe en un agujero (platónico) de intervalo [0,5] sin superponerse. Los demás casos se superponen por al menos un punto, por lo que no caben.

Hay objetos matemáticos que ya te dicen por su definición si están o no incluidos los extremos, todo está en como defines los objetos matemáticos. Pero si tu defines el objeto des del principio tú decides si cabe o no decidiendo si los extremos están o no en el intervalo.

Saludos.

Que decir, simplemente perfecta explicación, cuando hablan las matemáticas todo es silencio... gracias, me has resuelto la duda...

No creo. El rozamiento será una función acotada de la superficie de contacto.

Evidentemente "infinito" no puede ser por eso he puesto "tendente a " y muy en lenguaje coloquial, pero sería altísimo...


Muchas gracias a los tres, ahora sé que de un molde siempre sale un busto más pequeño... eran 35 años de duda...