Divulgación Una peonza simplificada.

[JCB]

Hola a tod@s.

Cuando era un chaval, no existía internet, ni siquiera los videojuegos. Jugábamos en la calle misma porqué pasaban pocos coches. Uno de mis juegos habituales era el lanzamiento de la peonza. Pasados unos cuantos años, trato de averiguar la velocidad angular que adquiere la peonza, al aplicar a la cuerda una tensión $T$ constante durante un tiempo $t$, que es el tiempo que tarda la cuerda en desenrollarse. Para ello voy a suponer unas simplificaciones: 1) el arrollamiento de la cuerda entorno a la peonza, es en el cilindro superior (esto en la realidad no era así, pues en mi peonza de madera, la cuerda se arrollaba entorno al cono inferior). 2) el diámetro de la sección de la cuerda es despreciable, por lo que el radio de arrollamiento es constante. 3) el eje de rotación de la peonza se mantiene vertical.



Aplicando la dinámica de rotación $\sum{M}=I\alpha$,

$T\dfrac{d}{2}=I\alpha$,

$\alpha=\dfrac{Td}{2I}$.

El trabajo de la fuerza aplicada es $W=M\theta= T\dfrac{d}{2}\theta=T\dfrac{d}{2}\dfrac{1}{2}\alpha t^2=\dfrac{T^2d^2t^2}{8I}$.

Suponiendo, también, la inexistencia de rozamiento con el suelo, todo este trabajo se convierte en energía cinética de rotación

$W=E_{cr}$,

$\dfrac{T^2d^2t^2}{8I}=\dfrac{1}{2}I\omega^2$,

$\omega=\dfrac{Tdt}{2I}$.

Nota: a ver si alguien pudiese encontrar una expresión más cercana a la realidad, considerando el arrollamiento de la cuerda en el cono inferior. El asunto se complica al ser $\alpha$ dependiente de un radio de arrollamiento variable. Mientras tanto, seguiré pensando en ello.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB esperando a que animen a darte mejores ideas, veo solo mantienes constante durante el lanzamiento es la tensión T.
y como la longitud del hilo es una constante la energía que aportas es constante mientras no varias la fuerza o tensión..
Luego cuanto menor momento de inercia, mayor velocidad angular final.

Si T es constante y el radio varia, giro a giro, el momento no es constante y la aceleración sera proporcional al momento con el momento de inercia como constante de proporcionalidad.
Lo que tienes que hallar es la ecuación de la espiral, que resulta del enrollado sobre el cono, sabiendo el paso o bien el diámetro dela soga y y el angulo del cono.

No se si estoy interpretando bien lo que quieres hallar, pero para mi la velocidad angular depende de la fuerza y del largo de la soga y no del tiempo que empleas en tirar de ella (el tiempo sera función de la inercia de la peonza), pues si lo hacer mas rapido necesitas mas fuerza, lo que quitas a un lado se lo agrega en otro termino, el trabajo es el mismo. Es decir si aumentas la fuerza mas rápido consumiras el hilo, mas potencia aplicas pero la energía será la misma, solo variando la fuerza y la longitud varías el trabajo de la fuerza ,y podrás darle mas o menos velocidad angular.

Yo creo que el principal componente a analizar esta en conocer cual es el limite humano físicamente para la potencia que puedes aplicar.

Intentar dilucidar cual es el momento y cual el radio, en una espiral de arquímedes e integrar , no le veo tarea fácil.

Espero te sirva de guía



fijate que cada vuelta de soga alrededor del cono tiene $2\pi R_{soga}\cos\Phi$ mas que la vuelta anterior.

con ello puedes calcular la longitud de soga que realiza trabajo, a fuerza constante... creo que por allí el trabajo se te aligera.

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias Richard, por intervenir. Después de dar unas vueltas al asunto, en el primer estado de peonza simplificada, es decir, con el arrollamiento en el cilindro superior, creo que resulta más acertado utilizar la longitud de la cuerda $L$, que no el tiempo de desenrollado $t$ (aunque a fin de cuentas son equivalentes). Partiendo de la expresión del trabajo

$W=M\theta=T\dfrac{d}{2}\dfrac{L}{\dfrac{d}{2}}=TL$. Igualando con la energía cinética de rotación

$TL=\dfrac{1}{2}I\omega^2$,

$\omega=\sqrt{\dfrac{2TL}{I}}$.

Pasando al segundo estado, con la cuerda arrollada en el cono, la cuerda describe una hélice cónica, cuya geometría, sí que depende del diámetro de la sección de la cuerda (además del ángulo que forma la generatriz con la vertical y de la altura del cono), como manifiestas de forma muy diáfana en tu croquis. Aquí me encallé.

El objeto del ejercicio, lo escribí en el primer párrafo del mensaje de apertura: “..., trato de averiguar la velocidad angular que adquiere la peonza, al aplicar a la cuerda una tensión $T$ constante durante un tiempo $t$, que es el tiempo que tarda la cuerda en desenrollarse”. O bien alternativamente, y después de haber introducido la longitud de la cuerda, podría ser: “Se trata de averiguar la velocidad angular que adquiere la peonza, al aplicar a la cuerda de longitud $L$, una tensión $T$ constante”.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque ha sido más complicado (para mí) de lo que esperaba, creo haber llegado a un resultado, para una peonza de forma cónica, con un radio de la base $R$, un ángulo de conicidad con la vertical $\beta$, y con un radio de la cuerda $r_c$. En esta situación, supongo que la cuerda está arrollada, “cubriendo” a todo el cono.

De momento, solo publico el resultado (el desarrollo es largo), por si alguien más ha llegado a una conclusión y quiera confrontar el resultado. Más adelante, publicaré el desarrollo.

$\omega=R\sqrt{\dfrac{\pi T}{r_cI\sin\beta}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Transcribo el desarrollo para obtener la velocidad angular de la peonza con el arrollamiento en el cono. Considero que el proceso de desenrollado es completo: empieza en la base del cono, y va descendiendo en forma de hélice hasta el vértice. Gracias otra vez Richard, por el croquis de tu mensaje # 2, porque ha sido muy inspirador.



Podemos obtener el decremento del radio de contacto de la cuerda en cada vuelta completa, a partir de la relación $\dfrac{\Delta r}{2r_c}=\sin\beta$,

$\Delta r=2r_c\sin\beta$.

El radio de contacto puede expresarse en función del ángulo girado $\theta$, $r=R-2r_c\sin\beta\dfrac{\theta}{2\pi}$,

$$r=R-r_c\sin\beta\dfrac{\theta}{\pi}$$

El trabajo elemental es $dW=Md\theta=Trd\theta$. Substituyendo (1), $dW=T\left(R-r_c\sin\beta\dfrac{\theta}{\pi}\right)d\theta$. Definiendo una constante $a$, como

$$a=\dfrac{r_c\sin\beta}{\pi}$$

$dW=T(R-a\theta)d\theta$.

Ahora toca integrar $dW$, pero antes vamos a ver qué límites de integración son los apropiados. Como integramos respecto de $\theta$, queda claro que el límite de integración inicial es , pues considero que la peonza empieza a girar cuando la cuerda se encuentra en el plano de la base del cono, cuando el radio de contacto de la cuerda con el cono es $R$ (condición ya indicada anteriormente).

En cuanto al límite de integración final, corresponde a un ángulo $\theta$ tal, cuando $r=0$, porque la peonza se separa de la cuerda cuando se desenrolla la última porción de cuerda, que está tocando al vértice (condición ya indicada anteriormente).

Recordando a (1) y utilizando esta condición, $0=R-r_c\sin\beta\dfrac{\theta}{\pi}$, $\theta=\dfrac{\pi R}{r_c\sin\beta}$. Empleando (2),

$\theta=\dfrac{R}{a}$.

Una vez determinados los límites, ya podemos integrar

$W=\dst\int_{0}^{\frac{R}{a}}T(R-a\theta)d\theta=\dfrac{TR^2}{2a}$. Deshaciendo el cambio de constante (2), $W=\dfrac{\pi TR^2}{2r_c\sin\beta}$.

Por último, igualamos este trabajo con la energía cinética de rotación, al no considerar pérdida por rozamiento

$\dfrac{\pi TR^2}{2r_c\sin\beta}=\dfrac{1}{2}I\omega^2$,

$\omega=R\sqrt{\dfrac{\pi T}{r_cI\sin\beta}}$.

Notas: la definición de la constante (2) no era necesaria, aunque me ha convenido para aclararme mejor. Los límites de integración son perfectamente modificables si se considera un arrollamiento distinto, que no coincida su inicio con la base del cono, o su final con el vértice.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola ,no encuentro ninguna falla lógica al planteo.
solo analizando las implicaciones de la formula final, un poco me hace ruido ese seno de beta cuando tienda a cero....pero deberíamos ver que sentido físico tiene, porque no se simplifica con nada del momento de inercia por ejemplo $I=\dfrac{3}{10}mR^2$

[JCB]

Hola a tod@s.

Ciertamente, el $\sin\beta$ de la expresión de $\omega$, también me desconcertó al principio.

Imagínate (mejor dibuja), Richard, dos conos con el mismo radio de la base $R$, pero con distinto ángulo $\beta$. Por ejemplo, el primero con un ángulo de $20^{\circ}$, y el segundo con un ángulo de $45^{\circ}$. Intuitivamente, ya se ve que en el primero la longitud de la cuerda, será mayor que en el segundo. Dado que es la tensión de la cuerda y su longitud (hasta su desenrollado total), la que proporciona el trabajo, es lógico que el trabajo que se suministra al primero es mayor, y por tanto, la energía cinética de rotación, y su velocidad angular, también son mayores en el primer caso.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Se me acaba de ocurrir otra forma de calcular el trabajo: encontrar la longitud total de la cuerda, y multiplicar por T. Aunque no estoy seguro del todo, pensaré en ello.

[JCB]

En relación al comentario # 7.1, es lo que he hecho en el mensaje # 5, aunque no sabría hallar la longitud de la hélice cónica, de otra manera.

[Richard R Richard]

Hola JCB, aver si te puedo aportar algún otro punto de vista, es claro , que dada una longitud fija de cuerda de cuerda y una tensión constante, el trabajo aportado al sistema(peonza ), sea lógicamente constante, luego la velocidad angular depende del momento de inercia. Pero claro hemos visto que el momento instantáneo depende del radio del cono en el momento de estudio, por lo que la potencia que entrega no es constante pero si lo será el total de la energía por eso, me extraña el seno en la ecuación aunque no veo objeción.

veamos la hélice , si supones que empiezas en el punto de contacto de la soga con el suelo, la primer vuelta comenzará siendo tangente al cono a una altura de $H_o=R_c(1+\cos\beta)$
Sobre el cono la cuerda se enrollara con un radio $R_{cono}=H\, cotg\beta$ y el centro de la soga se aleja $R_c\cos\beta$

el radio de la primera vuelta sera $R_1=R_{cono}+R_c\cos\beta$ claro un vuelta sería 2\pi por ese radio, si fuera una circunferencia, pero es una hélice

que crece en altura $\Delta H=2R_c \sin \beta$ en cada vuelta y en radio $\Delta R=2R_c \cos \beta$ por cada vuelta.

si suponemos que la longitud de la espira es el radio medio entre los dos radios $R_{M1}=R_1+\frac 12\Delta R$ pero a su vez crece en altura perpendicularmente luego la longitud de la primera vuelta es
$L_1=\sqrt{(2\pi R_{M1})^2+(\Delta H)^2 }$

la n siguiente vuelta tendrá longitud $L_n= \sqrt{(2\pi (R_{M1}+n\Delta R)^2+(\Delta H)^2 }$

Este calculo es discreto , pero podría reemplazarse por una función continua de $\theta$ e integrar,pero la periodicidad cada $2\pi$ en vez de mejorar me parece que empeora el calculo.

He mirado cálculos de longitud de espirales en el plano pero claro esto es espiral y hélice a la vez, Así que esto ya no sería una peonza simplificada!!!!


Saludos