Vaso de agua con hielo

[Al2000]

Se coloca un trozo de hielo en un vaso con suficiente agua para que el hielo flote libremente. Se marca el nivel del agua. Luego del tiempo que sea necesario, el hielo se habrá derretido por completo. El nuevo nivel del agua ¿será inferior, igual o superior al nivel inicial? Ignorar cualquier posible cambio de volumen del vaso.

[Richard R Richard]

Yo voy a que sube....

Edito ....ups , la cosa trae miga... ya te lo calculo.....

[MrM]

Hola.

En primer lugar, decir que ha sido un ejercicio muy interesante. Nunca me lo había planteado, pero me ha gustado hacerlo ahora.

No sé si querías que respondiéramos siguiendo nuestra intuición o que hiciéramos los cálculos, pero yo me he decantado por lo segundo:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

En principio, debería permanecer igual. En primer lugar, tomemos la densidad del hielo como $\rho_H=0.91\,{\rm g/L}$ y la del agua como $\rho_A=1\,{\rm g/L}$ (aunque, de hecho, estos números importan poco).

Dividamos nuestro trozo de hielo en dos regiones. La primera, llamémosla hielo1, está sumergida en el agua. La segunda, llamémoslo hielo2, es la parte de hielo que flota por encima del nivel del agua. Algunos hechos:

* Hielo1, al estar sumergido, eleva el nivel de agua del vaso.
* Hielo2 no eleva el nivel del agua del vaso.
* Cuando hielo1 se derrita, como el hielo es menos denso que el agua, el nivel de agua en el vaso bajará.
* Cuando hielo2 se derrita, todo ese agua se añadirá al volumen total, por lo que éste subirá.

Queda comprobar si el "volumen de agua que desaparece" al derretirse hielo1 es igual, mayor o menor que el "volumen de agua que se añade" al derretirse hielo2.

Para ello, lo primero es ver qué proporción de volumen verifican hielo1 y hielo2.

Sean $V1$ y $V2$ los volúmenes de hielo1 y hielo2, respectivamente. Notemos entonces que el volumen del trozo de hielo es V1+V2. Como el hielo está flotando (estático), el empuje sobre el cubo total es igual a su peso, esto es:

$E=mg$

donde $m=\rho_H \cdot (V1+V2)$ y, aplicando el principio de Arquímedes a la ecuación anterior:

$\rho_A \cdot g \cdot V1 = \rho_H \cdot g \cdot (V1+V2) \rightarrow \frac{V2}{V1}=\frac{\rho_A}{\rho_H}-1=0.098$

De donde: $V2=0.098 V1$

Entonces, al derretirse el hielo se pierde un volumen V1 de agua, pero se gana un volumen $(V1+V2)\cdot \rho_H/\rho_A=1.098V1\cdot 0.91=V1$ de agua. Es decir, ¡al derretirse el hielo que flota se gana justo el volumen de agua que se pierde al derretirse el hielo sumergido!

Pero esto me plantea una duda... Imagino que los Icebergs cumplirán la misma proporción. ¿Por qué se dice siempre que el nivel del mar subirá cuando se derritan los polos? Hasta donde yo sé, el Polo Norte es una especie de iceberg gigantesco, por lo que aunque se derrita no debería subir el nivel del mar. El Polo Sur es otra historia, porque tiene tierra debajo y por lo tanto no tiene por qué cumplir la proporción V1/V2. ¿Acaso es un abuso de lenguaje, y en realidad sólo el derretimiento del Polo Sur hace que suba el nivel del mar?

¡Un saludo!

[Richard R Richard]

Hola Al2000

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Un vaso de sección $S$ con agua hasta la altura $H_1$ tiene un volumen de agua de

$V_A=H_1S$

Un hielo de sección $s$ de altura $h$ tiene un volumen de

$V_h=hs$

cuando colocas el hielo en el agua el empuje se igual al peso el hielo se sumerge hasta la altura $h_s=\dfrac{h\rho_{h}}{\rho_{A}}$

la altura en el vaso queda

$H_i=\dfrac{V_A+V_s}{S}=H_1+\dfrac{sh_s }{S}=H_1+\dfrac{sh\rho_{h}}{S\rho_{A}}$

cuando se derrita el hielo el volumen será( corregido por Eludio Gracias)

$\cancel{H_f=\dfrac{V_A+V_h}{S}=H_1+\dfrac{hs}{S}}$

$M_h=\rho_hV_h=\rho_h h s=M_{hd}=\rho_aV_a=\rho_AV_{hd}$

$V_{hd}=\dfrac{\rho_h h s}{\rho_A}$

$H_f=\dfrac{V_A+V_{hd}}{S}=H_1+\dfrac{hs\rho_{h}}{S\rho_A}<br />$

la variación de altura es

$\cancel{\Delta H=H_f-H_i=\left(H_1+\dfrac{hs}{S}\right)-\left(H_1+\dfrac{sh\rho_{h}}{S\rho_{A}}\right)=\dfrac{hs}{S}\overbrace{\left(1-\dfrac{\rho_{h}}{\rho_{A}}\right)^{>0}}}$

$\Delta H=H_f-H_i=\left(H_1+\dfrac{sh\rho_{h}}{S\rho_{A}}\right)-\left(H_1+\dfrac{sh\rho_{h}}{S\rho_{A}}\right)=0<br />$
después del enésimo gazapo ,el nivel del menisco del vaso permanece estable.....

ups!!

[sater]

Buenas, yo ya me planteé esto tras una pelea (años ha, cuando iba a 2o de Bach) porque la profesora aseguraba que el aumento del nivel del mar se debía a que se derritieran los icebergs. Obviamente imaginaréis que opinaba yo (y por tanto que respondo a la cuestión de Al2000). Que suba el nivel del mar se debe principalmente a dos cosas: que se derrita hielo continental (hielo sobre superficie terrestre) y que se dilate el mar por la subida de temperatura global.

Un saludo =)

[carroza]

Una variante:

Se coloca un trozo de hielo en un vaso con suficiente güisqui para que el hielo flote libremente. Se marca el nivel del agua. Luego del tiempo que sea necesario, el hielo se habrá derretido por completo. El nuevo nivel del guisqui ¿será inferior, igual o superior al nivel inicial? Ignorar cualquier posible cambio de volumen del vaso.

PS: Espero no tener que explicar las propiedades físicas del güisqui.

Saludos

[Al2000]

Yo pensaba cambiar el agua por agua salada, pero con guisqui resulta más interesante, definitivamente

[Richard R Richard]

Yo que pensaba que esos volúmenes no eran adi _c tivos...
Quizá el resultado varíe cuando se toma "la medida" a distintas horas del día...y también de cuanto se tome
por otro lado el resultado también depende del tamaño relativo del cubo.

Si la pregunta viene por el aumento del nivel del mar, ese aumento proviene el incemento de agualiquida, que ahora esta solida y sobre superficie continental, km^3 de agua dulce, que al mezclarse con la salada no le cambiaran apreciablemente la concentración al agua salada. una media de 3900 m de profundidad promedio vs una capa de agua dulce de solo unos metros.. 20m como exageración 1/200 en volumen

[Eludio]

Hola.
·····
·····
Pero esto me plantea una duda... Imagino que los Icebergs cumplirán la misma proporción. ¿Por qué se dice siempre que el nivel del mar subirá cuando se derritan los polos? Hasta donde yo sé, el Polo Norte es una especie de iceberg gigantesco, por lo que aunque se derrita no debería subir el nivel del mar. El Polo Sur es otra historia, porque tiene tierra debajo y por lo tanto no tiene por qué cumplir la proporción V1/V2. ¿Acaso es un abuso de lenguaje, y en realidad sólo el derretimiento del Polo Sur hace que suba el nivel del mar?[/solucion]
····

En este caso, el hielo del polo norte también contribuye al aumento del nivel del mar al derretirse (en mucho menor grado) debido a que el hielo es agua dulce y el agua del mar es agua salada, más densa que la dulce. Si lo calculas (no lo he hecho) deberías ver la diferencia.

[Eludio]

Hola Al2000 [solucion]

···
cuando se derrita el hielo el volumen será

$H_f=\dfrac{V_A+V_h}{S}=H_1+\dfrac{hs}{S}$
···
···

Creo que donde pone $V_h$ (volumen del hielo), debería poner volumen del agua que se forma al derretirse el hielo,que es $\dfrac{hs}{S}\dfrac{\rho_h}{\rho_A}$ (si no me equivoco). Así al final se cancela todo y sale la misma altura antes que después.

[Livilro]

Ignorando cualquier aumento de volumen del vaso asi es. No debería ser asi para el caso de la tierra y los casquetes polares, se necesitarian otros datos.

(Acabo de leer lo del guisqui, ok, y en un tiempo necesario, ni guisqui ni hielo queda en el vaso.)



Para el planeta,

suponiendo un incremento neto de la entropía continuo y positivo, que esto tampoco es estrictamente necesario pero dejemoslo asi para simplificar,

pasamos de hielo al agua intercambiando energia con el contexto. Contexto se entiende para este caso lo que no es agua ni hielo.

Demasiados datos necesarios para comprobar una respuesta...



¿Puedo preguntar como procedeis en el caso de SI aceptar cambios del volumen del vaso de agua ?

Si es irme de la pregunta principal perdón, entenderé que no se conteste, saludos.

[egrande03]

Creo que se mantiene el nivel del agua

[carroza]

Hola. Remato lo del guisqui, con algubna observación lúdico-dipsómana.

1) Para conseguir que un cubito de hielo, de los habituales, flote en un vaso de guisqui como Dios manda (un vaso bajo, nada de vasos largos para el guisqui), hay que echarse un pelotazo de guisqui considerable. Normalmente, el hielo apoyará en el fondo del vaso.

2) A priori, no es trivial que el hielo flote en el guisqui. Una mezcla de alcohol etílico con agua, en proporción 40/60, tendria una densidad en torno a 0.92 kg/l, que es muy próxima a la densidad del hielo. 0.9169 kg/l. Afortunadamente, el guisqui tiene otras cosas aparte de agua y alcohol, así que el que a mi me gusta tiene una densidad de 0.94 kg/l, con lo que el hielo flotaría sobre el guisqui, aunque sobresaldría menos que eel agua.


3) Para discutir si el nivel sube o baja cuando se funde el hielo, es util darse cuenta que el volumen del líquido desalojado, sea por el hielo, o sea por el agua en la que se se funde, es el mismo.
Así, el problema es comparar cual es el volumen del liguido porducido por la fusion de una masa determinada del hielo (1), con el volumen de esa misma masa del líquido cirdundante (2). Si (1) es mayor que (2), entonces habrá más liquido al final, y aumentará el nivel. Si (1) es menor que (2) disminuirá el nivel. Todo esto es independiente de la densidad del hielo, siempre y cuando este flote.
Por tanto, lo relevante es comparar la densidad del liquido en el que se funde el hielo (1.000 kg/l, en todos los casos, con la densidad del medio (<1 para el guisqui, >1 para el agua salada).
El cubito de hielo, al fundirse, tiene una densidad mayor, y por tanto un volumen menor que el guisqui que desaloja. Por tanto, el nivel del liquido de la mezcla disminuye.
Por contra, el iceberg de agua dulce, al fundirse, tiene una densidad menor, y por tanto un volumen mayor, del agua salada que desaloja. Por tanto, el nivel del liquido de la mezcla aumenta.

Saludos

[sater]

Me gustaría puntualizar en base a lo dicho por carroza mi respuesta.

En concreto, si se funde un objeto 1, con densidad $d_1^L$ en estado líquido y que flota sobre un líquido con densidad $d_2$ sumergiendo un volumen $V_S$, ocupará al derretirse un volumen $V_1^L=\dfrac{d_2}{d_1^L} V_S$. Como el agua del mar tiene mayor densidad que el agua dulce del cual están formados los icebergs, el volumen que ocupan en estado líquido será mayor que el que sumergían en estado sólido, aumentando el nivel del mar. Pero el aumento es tan despreciable que los modelos que usan en las proyecciones de cambio climático ni si quiera lo tienen en cuenta y, como dije, los principales causantes de la subida del nivel del mar son los efectos de dilatación térmica y de fusión del hielo continental. También de la expresión que he puesto se puede ver que en el caso planteado por Al2000 el nivel no cambia.

Un saludo =)

[Neogees]

Se coloca un trozo de hielo en un vaso con suficiente agua para que el hielo flote libremente. Se marca el nivel del agua. Luego del tiempo que sea necesario, el hielo se habrá derretido por completo. El nuevo nivel del agua ¿será inferior, igual o superior al nivel inicial? Ignorar cualquier posible cambio de volumen del vaso.

Hola,
para ser correcto, se debe ignorar tambien cambios de volumen del agua por el cambio de temperatura, reduccion del volumen por evaporacion o difucion y hay que mantener la presion atmosferica y la gravitacion igual tambien.
Con esto el nivel del agua se queda exactamente igual, porque el hielo solo flota, porque usa la misma cantidad de agua necesario como en estado liquido.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque en su día no lo publiqué y asumiendo que hasta cierto punto, pueda resultar repetitivo, para entenderlo yo me lo explico así: considero tres situaciones. La primera situación es un recipiente con un volumen de agua $V_1$. La segunda situación es ese mismo recipiente con el mismo volumen de agua $V_1$, pero añadiendo un trozo de hielo de volumen total $V_h$. El empuje sobre el trozo de hielo es $E=\rho_aV_sg$, donde $V_s$ es el volumen sumergido del trozo de hielo. El peso del trozo de hielo es $P=\rho_hV_hg$. Por el principio de Arquímedes (igualando $E$ con $P$),

$V_s=\dfrac{\rho_h}{\rho_a}V_h$.

En esta segunda situación, el volumen que ocupa el agua en el recipiente es $V_2=V_1+V_s=V_1+\dfrac{\rho_h}{\rho_a}V_h$.

La tercera situación es considerar el hielo fundido. En fase sólida, la masa del trozo de hielo es $\rho_hV_h$. En fase líquida, la masa líquida correspondiente es $\rho_aV_a$. Igualando las dos masas $V_a=\dfrac{\rho_h}{\rho_a}V_h$.

El volumen total de agua en esta tercera situación es $V_3=V_1+V_a=V_1+\dfrac{\rho_h}{\rho_a}V_h$. Expresión que coincide con $V_2$. Al ser los volúmenes iguales, la altura también lo es.

Saludos cordiales,
JCB.

[MissEntropia]

¡Qué interesante! En cuanto he leído el primer mensaje pensé ir corriendo a buscar un vaso con hielo y agua, pero lo del whisky me ha gustado también.