Cilindro flotante

[Al2000]

Se arroja un cilindro en un cuerpo de agua. En caso de que flote, ¿cómo flotará, acostado o parado?

[Richard R Richard]

Interesante, se cual es la respuesta el tema es justificarla correctamente.

la respuesta varia en función de las dimensiones de la relación radio / longitud (R/L)

por eso me decanto en decir que flotará de manera que el centro de empuje queda lo más cerca de la superficie,

cuando $L<2R$ el eje preferido será vertical, y si $L>2R$ horizontal, (aquí no estoy teniendo en cuanta la forma circular del cilindro)

para el cilindro acostado es mas difícil calcular el centro de empuje,y la altura de del centro de masa,cuando esta flotando

el CM me queda

$\cancel{CM=Rcos\left(\sqrt[3]{\dfrac{\rho_{cil}\pi 3}{2\rho_{liq}}}\right)}<br />$

editado encontre un error , lo resuelvo en un post posterior

esto sale d hacer un polinomio de Taylor para calcular el área transversal sumergida
mas difícil aun calcular el centro de empuje

$C_e=\dst\dfrac{\int\limits_0^{Hs}h dV}{\int\limits_0^{Hs} dV}<br />$

como dije si el C_e esta mas cerca de la superficie estando acostado que vertical, permanecerá acostado, en cambio si la forma se parece a un disco entonces permanecerá acostado

vamos a una explicación mas mundana , si es muy largo el cilindro y lo pones parado, apenas se desequilibre verticalmente, el peso no sumergido hace una palanca mayor a la que la masa sumergida que la que puede hacerle el empuje, por lo tanto se tumba, pero si el radio es lo suficientemente grande, para que el CM y el CE, esten más cerca de la superficie cuando esta vertical, entonces permanecerá sin tumbarse.


mi titubeo proviene de que tal vez la justificación pasaría porque flotara según el menor momento de inercia respecto del eje de la gravedad.

$I_{vertical} =\dfrac{m R^2}{4}+\dfrac{m L^2}{12}$

$I_{horizontal}=\dfrac{m R^2}{2}$

la condición de flotar de uno u otro lado ocurre cuando $\sqrt 3 R=L$ en ves de cerca de 2R como se deduciría del primer cálculo.

[Alriga]

Entiendo que:

• Parado=con las bases paralelas a la superficie del agua
• Acostado=con las generatrices paralelas a la superficie del agua

...la respuesta varía en función de las dimensiones de la relación radio / longitud (R/L) ...

Sí, seguro, pero me apuesto un garbanzo a que también influye la densidad $\rho_c$ del cilindro. Y también intuyo que debe haber combinaciones de $R/L/\rho_c$ para las cuales incluso podría flotar inclinado, (con las bases ni paralelas ni perpendiculares a la superficie del agua)

Pero son solo intuiciones, el problema completo parece difícil de abordar.

Saludos.

[Richard R Richard]

Fíjate que el cálculo del centro de empuje no es independiente de las densidades, ni del líquido ni del cilindro, si la densidad del cilindro se aproxima a la del agua disminuye el torque entre empuje , peso mojado y peso seco (fuera del agua) la viscosidad hará de las suyas retardando el tiempo para tumbarse, pero si es más estable en un eje que otro terminará en el más estable, esto me suena a que será el que tenga una menor energía potencial, sea esta gravitatoria o la que podamos pensar mediante un lagrangiano.

[Alriga]

Me he dedicado a Googlear y he encontrado información sobre el tema. La densidad del cilindro flotante influye como intuía, también ha resultado cierto que el cilindro puede flotar inclinado. En este gráfico tenemos la relación Longitud/Diámetro en el eje de abcisas y la densidad del cilindro relativa a la del agua en el eje de ordenadas.

En la zona (I) de "cilindros cortos" el cilindro flota con las bases paralelas al agua. En la zona (II) de "cilindros largos" el cilindro flota con las bases perpendiculares al agua. En las zonas (IV) puede flotar de forma estable tanto con las bases paralelas como perpendiculares al agua. Y finalmente, en la zona (III) el cilindro flota inclinado.

La línea horizontal punteada corresponde a la densidad del hielo. Vemos que un cilindro de hielo "corto" con HD<0.7266 flota "de pie", uno "medio" 0.7266<H/D<1.1785 puede flotar tanto "de pie" como "tumbado" y finalmente un cilindro "largo" con H/D>1.1785 siempre flota "tumbado". Vemos también que un cilindro de hielo nunca flota inclinado. La imagen la he sacado de Tip of the iceberg (Henry Pollack 2019).

En otro texto he encontrado esta otra imagen que da el gráfico del ángulo de inclinación (ordenadas) en el que flota un cilindro de densidad 50% la del agua, en función del ratio Longitud/Radio en abcisas:

Este último gráfico lo he obtenido de un estudio más antiguo, How Things Float (E. N. Gilbert 1991)

Saludos.

[Richard R Richard]

Luego de que revise los cálculos me di cuenta que me comí un 2 al resolver una ecuación , por lo que era posible resolver una ecuación cubica simplemente haciendo la raiz cúbica


por el principio de Arquímedes el área sumergida del cilindro en posición horizontal es

$$A_s=\dfrac{\pi R^2L\rho_{cil}g}{L\rho_{liq}g}=\dfrac{\rho_{cil}}{\rho_{liq}}\pi R^2$$

pero también es el área debajo de una cuerda en una circunferencia de radio R cuyo angulo entre la vertical y el punto de contacto con la superficie es $\theta$

entonces el área sumergida queda como la suma de una porción de circulo mas un triángulo inscripto formado por dos triangulos cuya base es R'sin\theta y la altura R\cos\theta

$$A_s=\pi R^2\dfrac{2\pi-2\theta}{2\pi}+R'sin\theta R\cos\theta=R^2(\pi-\dfrac{\theta-\sin(2\theta)}{2}$$

igualando 1 con 2

$$\dfrac{\rho_{cil}}{\rho_{liq}}\pi \cancel{R^2}=\cancel{R^2}(\pi-\dfrac{\theta-\sin(2\theta)}{2}$$

que es una ecuación no lineal, de no muy fácil resolución

pero si usamos la aproximación polinómica de Taylor del seno

$\sin x\cong x-\dfrac{x^3}{3!}+....$

tenemos que

$$\sin (2\theta)\cong 2\theta-\dfrac{8\theta^3}{6}$$

reemplazando 4 en 3 podemos armar una ecuación polinómica cubica y hallar sus raíces

$0=\pi\dfrac{\rho_{liq}-\rho_{cil}}{\rho_{liq}}-2\theta+\dfrac23\theta^3$

vista de un modo más sencillo

$\theta^3-3\theta+\dfrac32 \pi \dfrac{\rho_{liq}-\rho_{cil}}{\rho_{liq}}=0$

así se ve la dependencia de la relación de densidades en el valor del angulo en que sucede el equilibrio.

para el huelo con densidad relativa 0.9

se obtiene que $\theta= 0.1584$

la altura del CM por debajo de la superficie sera

$h_{CM}=R\cos\theta=R0.9874$

solo sobresale un 1.23% por encima de la superficie

Pero claro esta poco indica la estabilidad que surge de resolver que el centro de empuje este siempre por encima del centro de gravedad

es decir


$|h_{CM}|>|H_{Ce}|$

$H_{s}=R+h_{CM}$

y

$H_{Ce}=2R-\dst\dfrac{\int\limits_0^{H_s}h dV}{\int\limits_0^{H_s} dV}<br />$

donde $h$ es la distancia vertical al punto mas bajo del cilindro.

Es conveniente pasar el calculo a polares e integrar en función de $\theta$ y usar condiciones de simetría para dividir en dos integrales ,una porción circular mas un triangulo.