Secundaria La puerta del castillo

[jeff marichal]

El rey Arturo, está muy preocupado porque le han informado que el ejército francés está muy cerca de su castillo con la idea de atacarlo. El castillo se encuentra realmente muy bien protegido por murallas y cañones, pero su Talón de Aquiles es la gran puerta del castillo, que solo se puede cerrar bajo ataque, porque por allí entran víveres, productos y medicinas. El problema es que se demoran mucho para cerrarla ya que esto se hace empujándola de abajo hacia arriba por los soldados ingleses que, a pesar de su fuerza, en ocasiones no alcanzan a cerrarla completamente y el castillo es saqueado. A oídos del rey ha llegado un plano elaborado por un tal Arquímedes donde le plantea una solución al problema, aunque no da muchos detalles. Aquí reproducimos el dibujo y las instrucciones:




Los datos que tenemos son: el largo de la puerta en metros(pueden ser cualquier numero) y el diámetro de la polea en centímetros(pueden ser cualquier numero).
el sistema es muy ingenioso, un Guerrero va girando completamente (da la vuelta completa con la cuerda) la polea y la puerta empieza a subir hasta el muro. Lo que el rey Arturo y sus caballeros de la mesa redonda desean saber es: - ¿Cuántas vueltas deben darse para cerrar la puerta completamente? Como cada Guerrero solo puede girar la polea 3 veces antes de caer exhausto: - ¿Cuántos Guerreros se necesitan para cerrar la puerta completamente? Si se desea cerrar la puerta en un número máximo de minutos, los cuales también nos dan, ¿A qué velocidad deben girar la polea (cms/seg) para poder cerrarla completamente en ese tiempo?

[JCB]

Hola a tod@s.

Si se puede considerar que la altura del muro es igual a la altura de la puerta, entonces me da que el nº necesario de vueltas para cerrar la puerta es $N_v=\dfrac{\sqrt{2}h}{\pi d}$, con $h$ y $d$ en $m$.

El nº necesario de soldados para cerrar la puerta es $N_s=\dfrac{\sqrt{2}h}{3\pi d}$, con $h$ y $d$ en $m$.

La velocidad lineal necesaria de la periferia de la polea es $v=\dfrac{\sqrt{2}h}{t}\ (m/s)$.

No escribo el desarrollo, a la espera de conocer si la suposición inicial es válida. Si la suposición inicial no es válida, las expresiones variarían ligeramente, y también quedarían en función de la altura del muro.

Saludos cordiales,
JCB.

[jeff marichal]

si, la suposición inicial es válida

[Richard R Richard]

Si uso $h$ para la altura del muro, y $d$ para la altura de la puerta, y $L$ para medida la longitud de la cuerda, subíndice $i$ para inicial o abierta, y $f$ para final y cerrada, y $o$ para la distancia entre pole y muro , tenemos

$(L_i-L_o)^2=h^2+d^2$ por pitágoras

y siempre que h>d

$L_f =h-d+L_o$

lo que cambia la longitud de la cuerda al levantar

$\Delta L=L_f-L_i$

$\Delta L=h-d+\cancel{L_o}-\sqrt{h^2+d^2 }-\cancel{L_o}$

$\Delta L=h-d-\sqrt{h^2+d^2}$

que debe ser negativo lógicamente ya que la cuerda es más corta cuando esta la puerta cerrada, coincido con JCB en dos cosas, si $h=d$su resultado es el mismo que el mio cambiado de signo por como yo lo propuse, ala vez hay solución, pero de lo contrario es necesario la altura del muro como dato.

el número de vueltas es $N=\dfrac{-\Delta L}{2\pi R}$

la velocidad tangencial de la polea es $v=\dfrac{-\Delta L}{\Delta t}<br />$

[JCB]

Hola a tod@s.

Ahora que ya es conocido que la altura del muro puede considerarse igual a la altura de la puerta, indico el desarrollo.

Inicialmente la puerta se encuentra abierta, según el dibujo del enunciado. La longitud total de la cuerda ($L$, en $m$) se compone del trozo exterior (que será de longitud variable), más el trozo interior (que será de longitud constante),

$(L_{ext})_i+L_{int}=L$.

Llamando $h$ (en $m$) a la altura de la puerta (y también del muro),

$h^2+h^2=(L_{ext})_i^2$,

$(L_{ext})_i=\sqrt{2}h$. Sustituyendo,

$$\sqrt{2}h+L_{int}=L$$

Con la puerta cerrada, la longitud exterior es pues todo ese trozo se habrá enrollado a la polea. Llamo $d$ (en $m$) al diámetro de la polea.

$$\cancelto{0}{(L_{ext})_f}+L_{int}+\theta\dfrac{d}{2}=L$$

Igualando (1) con (2) y despejando,

$\theta=\dfrac{2\sqrt{2}h}{d}$.

Nota: alternativamente, la expresión de $\theta$ se puede obtener directamente de igualar la longitud exterior inicial, con la longitud enrollada en la polea.

Paso de radianes a vueltas,

$N_v=\theta (\text{rad})\dfrac{1\ \text{vuelta}}{2\pi\ \text{rad}}=\dfrac{\sqrt{2}h}{\pi d}$.

El nº necesario de soldados, es $N_s=\dfrac{N_v}{3}=\dfrac{\sqrt{2}h}{3\pi d}$.

La velocidad angular necesaria de la polea es $\omega=\dfrac{\theta}{t}=\dfrac{2\sqrt{2}h}{dt}$.

La velocidad lineal necesaria de la periferia de la polea es $v=\omega\dfrac{d}{2}=\dfrac{\sqrt{2}h}{t}$.

Saludos cordiales,
JCB.