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16 es un cuadrado perfecto

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  • Divulgación 16 es un cuadrado perfecto

    Este es un problema interesante que encontré, a ver quién puede resolverlo.

    Demuestra que si intercalamos en el número 16 un 15 sucesivamente siempre va a ser un cuadrado perfecto. 16,1156,111556,11115556...
    "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

    \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

  • #2
    Re: 16 es un cuadrado perfecto

    Hola:

    Realmente me impresionan este tipo de relaciones y las personas que las encuentran, supongo que surgen como eventos colaterales de la investigación matemática, o serán descubiertas por alguien con exceso de ocio?. No se..... y en definitiva no importa.

    No creo poder dar una solución, pero intentare adelantar algo, primero es menester encontrar una expresión general del problema, para eso desarrollamos ambos lados de las igualdades en la base 10:





    A partir de estas expresiones postulo la siguiente formula generadora:


    Verifico:





    También la comprobé para n=3, pero me da pereza transcribirla.

    Creo que a partir de (1) hay que aplicar el método de inducción matemática. Pero antes voy a tratar de hacerla mas amigable:





    Descomponiendo el 2º termino del 1º miembro y reagrupando queda:









    Bueno no se me ocurre como seguir reduciendo la (2), así que voy a verificar si se cumple para descartar errores:





    Aparentemente la (2) se verifica y posiblemente no cometí errores en las operaciones aplicadas.
    Para aplicar inducción partimos de la base demostrada para n=1:



    y la hipotesis de que se cumple la formula en n:



    debemos demostrar, usando la base y la hipótesis, que esta también se cumple en n+1, es decir:



    Lo dejo por ahora, no se si esta bien así que lo dejo acá para que lo miren y avisen si hay algun error.

    s.e.u.o.

    Suerte
    No tengo miedo !!! - Marge Simpson
    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

    Comentario


    • #3
      Re: 16 es un cuadrado perfecto

      Hola.

      Bonito problema. A ver si os gusta esta solución.

      Primero, escribamos los números de la forma siguiente:







      Luego, encontramos una forma general:



      y nos damos cuenta de que esto es un cuadrado perfecto,

      .

      Con lo cual, tenemos:







      saludos

      Comentario


      • #4
        Re: 16 es un cuadrado perfecto

        Carroza creo que lo has demostrado al igual que Breogan, pero Carroza cómo diablos viste esa curiosas propiedad?
        Es que llegue a la misma solución pero de otro modo...
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        • #5
          Re: 16 es un cuadrado perfecto

          Hola, a mi me gusta mas la idea de usar el trinomio cuadrado perfecto. Algo como esto: .

          Se tiene el número











          Saludos

          Comentario


          • #6
            Re: 16 es un cuadrado perfecto

            Hola:

            La solución de carroza es realmente elegante y simple, le agradezco sinceramente el post pero como a Malevolex me queda la pregunta de "cómo diablos viste esa curiosas propiedad?".
            En cuanto a mi desarrollo creo que, como es normal en mi, la complique demasiado y me meti en camisa de 11 varas. Cuando lo termine de escribir ya intuí que no era el camino, y la demostración de carroza me lo confirmo.

            Se me ocurrió otro camino a partir de la ecuación generadora (1) del post anterior, así que desechando todo lo que esta a continuación voy a partir de:



            en esta parte trabajo con el 1º miembro, que llamo M1:



            Ahora aplicando las propiedades de la suma de n términos consecutivos cualquiera de una serie geométrica a cada termino tenemos:





            Reemplazando en M1:



            operando:



            y por ultimo por cuadrado de un binomio:



            que es el mismo resultado de carroza, con la salvedad de la diferencia en el indice, ya que:

            para carroza:

            para mi:

            Por ultimo un paso mas para confirmar la formula de generacion de los resultados, partiendo de M1:







            recordando que:



            y ahora reemplazando en M1 tenemos:



            y por ultimo reagrupando:





            La cual verifica el 2º miembro de la formula (1), por lo cual (y tambien gracias a carroza), creo que el proceso y el resultado es correcto.

            s.e.u.o.

            Suerte
            Última edición por Breogan; 23/09/2014, 03:46:56. Motivo: Agregar lynk
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            Comentario


            • #7
              Re: 16 es un cuadrado perfecto

              Hola.

              Bueno, en realidad para verlo, me fijé en los resultados de las raices cuadradas:

              Estos son 4, 34, 334, 3334, etc. Esto sugiere una forma general, de tipo (10/3 + 2/3), (100/3 + 2/3), (1000/3 + 2/3).

              Haciendo el cuadrado de estas expresiones, sale la regla.


              Un saludo

              Comentario

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