Divulgación 16 es un cuadrado perfecto

[Visitante]

Este es un problema interesante que encontré, a ver quién puede resolverlo.

Demuestra que si intercalamos en el número 16 un 15 sucesivamente siempre va a ser un cuadrado perfecto. 16,1156,111556,11115556...

[Breogan]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Hola:

Realmente me impresionan este tipo de relaciones y las personas que las encuentran, supongo que surgen como eventos colaterales de la investigación matemática, o serán descubiertas por alguien con exceso de ocio?. No se..... y en definitiva no importa.

No creo poder dar una solución, pero intentare adelantar algo, primero es menester encontrar una expresión general del problema, para eso desarrollamos ambos lados de las igualdades en la base 10:

$\dst n=1 \quad \Rightarrow \quad 1156 = 10^3 + 10^2 + 5 . 10+ 6 = 34^2 = (3 . 10 + 4)^2$

$\dst n=2 \quad \Rightarrow \quad 111556 = 10^5 + 10^4 + 10^3 + 5 . 10^2 + 5 . 10+ 6 = 334^2 = (3 . 10^2 + 3 . 10 + 4)^2$

A partir de estas expresiones postulo la siguiente formula generadora:

$$\dst \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 6 = \left(3 . \sum_{k = 1}^n 10^{k} + 4 \right)^2 \quad \forall \ n \geqslant 1$$

Verifico:

$\dst n=1 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i = 2}^{3} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^1 \ 10^{j} + 6 = 10^3 + 10^2 + 5 . 10 + 6 = 1156$ $y$ $\dst \left(3 . \sum_{k = 1}^1 10^{k} + 4 \right)^2 = \left( 3 . 10 + 4 \right)^2 = 34^2$

$\dst n=2 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i = 3}^{5} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^2 \ 10^{j} + 6 = 10^5 + 10^4 + 10^3 + 5 . (10^2 + 10 ) + 6 = 111556$ $y$ $\dst \left(3 . \sum_{k = 1}^2 10^{k} + 4 \right)^2 = \left[3 . ( 10^2 + 10 ) + 4 \right]^2 = 334^2$

También la comprobé para n=3, pero me da pereza transcribirla.

Creo que a partir de (1) hay que aplicar el método de inducción matemática. Pero antes voy a tratar de hacerla mas amigable:

$\dst \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 6 = \left(3 . \sum_{k = 1}^n 10^{k} + 4 \right)^2 \quad \forall \ n \geqslant 1$

$\dst \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 6 = \left(3 . \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + 2 . \left(3 . \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right) . 4 + 4^2\quad \forall \ n \geqslant 1$

Descomponiendo el 2º termino del 1º miembro y reagrupando queda:

$\dst \sum_{i = 2}^{2n+1} \ 10^i + 4 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 10 + 6 = 9 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + 24 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right) + 16\quad \forall \ n \geqslant 1$


$\dst \sum_{i = 2}^{2n+1} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + 20 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right) \quad \forall \ n \geqslant 1$

$\dst \sum_{i = 2}^{2n+1} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + 2 . \left( \sum_{l = 2}^{n+1} 10^{l} \right) \quad \forall \ n \geqslant 1$

$$\dst \sum_{i = n+2}^{2n+1} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{n+1} 10^{l} \quad \forall \ n \geqslant 1$$

Bueno no se me ocurre como seguir reduciendo la (2), así que voy a verificar si se cumple para descartar errores:

$\dst n=1 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i = 3}^{3} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^1 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{2} 10^{l} \quad \Rightarrow \quad 10^3 = 9 . (10^1)^2 + 10^2 \quad OK$

$\dst n=2 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i = 4}^{5} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^2 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{3} 10^{l}$$\dst .\quad \Rightarrow \quad 10^5 + 10^4 = 9 . (10^2 + 10^1)^2 + 10^3 + 10^2 \quad \Rightarrow \quad 110000 = 108900 + 1000 + 100$ $OK$

Aparentemente la (2) se verifica y posiblemente no cometí errores en las operaciones aplicadas.
Para aplicar inducción partimos de la base demostrada para n=1:

$\dst n=1 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i = 3}^{3} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^1 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{2} 10^{l}$

y la hipotesis de que se cumple la formula en n:

$\dst \sum_{i = n+2}^{2n+1} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^n 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{n+1} 10^{l}$

debemos demostrar, usando la base y la hipótesis, que esta también se cumple en n+1, es decir:

$\dst \sum_{i = n+3}^{2n+3} \ 10^i = 9 . \left( \sum_{k = 1}^{n+1} 10^{k} \right)^2 + \sum_{l = 2}^{n+2} 10^{l}$

Lo dejo por ahora, no se si esta bien así que lo dejo acá para que lo miren y avisen si hay algun error.

s.e.u.o.

Suerte

[carroza]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Hola.

Bonito problema. A ver si os gusta esta solución.

Primero, escribamos los números de la forma siguiente:

$n=1; 16 = 100/9 + 40/9 + 4/9 = 11.111111\dots + 4.44444\dots + 0.444444\dots$

$n=2; 1156 = 10000/9 + 400/9 + 4/9 = 1111.111111\dots + 44.44444\dots + 0.444444\dots$

$n=3; 111556 = 1000000/9 + 4000/9 + 4/9 = 111111.111111 + 444.44444 + 0.444444\dots$

Luego, encontramos una forma general:

$n; 10^{2n}/9 + 4 \cdot 10^{n}/9 + 4/9$

y nos damos cuenta de que esto es un cuadrado perfecto,

$n; (10^n/3 + 2/3)^2$.

Con lo cual, tenemos:

$n=1; 16= (10/3 + 2/3)^2 = 4^2$

$n=2; 1156= (100/3 + 2/3)^2 = 34^2$

$n=3; 111556= (1000/3 + 2/3)^2 = 334^2$

saludos

[Visitante]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Carroza creo que lo has demostrado al igual que Breogan, pero Carroza cómo diablos viste esa curiosas propiedad?
Es que llegue a la misma solución pero de otro modo...

[Jose D. Escobedo]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Hola, a mi me gusta mas la idea de usar el trinomio cuadrado perfecto. Algo como esto: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Se tiene el número $\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}\underbrace{555\ldots 555}_\text{n veces}+1\Rightarrow$

$\underbrace{111\ldots111}_\text{n veces}\cdot 10^n+5 \cdot \underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}+1=$

$\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}(10^n+5)+1=\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}(\underbrace{999\ldots 999}_\text{n veces}+1+5)+1\Rightarrow$

$\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}(9(\underbrace{111\ldots111}_\text{n veces})+6)+1=$

$3^2(\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces})^2+2\cdot 3(\underbrace{111\ldots 111}_\text{n veces}+1=$

$(\underbrace{333\ldots 333}_\text{n veces}+1)^2=(\underbrace{333\ldots 33}_\text{n-1 veces}4)^2$

Saludos

[Breogan]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Hola:

La solución de carroza es realmente elegante y simple, le agradezco sinceramente el post pero como a Malevolex me queda la pregunta de "cómo diablos viste esa curiosas propiedad?".
En cuanto a mi desarrollo creo que, como es normal en mi, la complique demasiado y me meti en camisa de 11 varas. Cuando lo termine de escribir ya intuí que no era el camino, y la demostración de carroza me lo confirmo.

Se me ocurrió otro camino a partir de la ecuación generadora (1) del post anterior, así que desechando todo lo que esta a continuación voy a partir de:

$\dst \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 6 = \left(3 . \sum_{k = 1}^n 10^{k} + 4 \right)^2 \quad \forall \ n \geqslant 1$

en esta parte trabajo con el 1º miembro, que llamo M1:

$\dst M_1 = \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i + 5 . \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} + 6$

Ahora aplicando las propiedades de la suma de n términos consecutivos cualquiera de una serie geométrica a cada termino tenemos:

$\dst \sum_{i = n+1}^{2n+1} \ 10^i = 10^{n+1} . \frac {10^{[(2n+1)-(n+1)+1]} - 1}{10 - 1} = 10^{n+1} . \frac {10^{n+1} - 1}{9} = \frac {10^{2n+2}} 9 - \frac {10^{n+1}} 9$

$\dst \sum_{j = 1}^n \ 10^{j} = 10 . \frac {10^n - 1}{10 - 1} = 10 . \frac {10^n - 1}{9} = \frac {10^{n+1}} 9 - \frac {10} 9$

Reemplazando en M1:

$\dst M_1 = \frac {10^{2n+2}} 9 - \frac {10^{n+1}} 9+ 5 . \frac {10^{n+1}} 9 - 5 . \frac {10} 9 + 6$

operando:

$\dst M_1 = \frac {10^{2n+2}} 9 + \frac 4 9 . {10^{n+1}} + \frac 4 9$

y por ultimo por cuadrado de un binomio:

$\dst M_1 = \left[ \frac {10^{n+1}} 3 + \frac 2 3 \right]^2$

que es el mismo resultado de carroza, con la salvedad de la diferencia en el indice, ya que:

para carroza: $\dst n=1 \quad \to \quad\quad \bold{16}$

para mi: $\dst n=1 \quad \to \quad \bold{1156}$

Por ultimo un paso mas para confirmar la formula de generacion de los resultados, partiendo de M1:

$\dst M_1 = \left[ \frac {10^{n+1}} 3 + \frac 2 3 \right]^2 =\left[ \frac 1 3 \left(10^{n+1}-1+3 \right) \right]^2$

$\dst M_1 = \left\{ \frac 1 3 \left[ \left( 10^{n+1}-1 \right) \frac {10 - 1} {10 - 1}+3 \right] \right\}^2$

$\dst M_1 = \left( 3 . \frac {10^{n+1}-1} {10 - 1} +1 \right)^2$

recordando que:

$\dst \frac {10^{n+1}-1} {10 - 1} = \sum_{i=0}^n \ 10^i$

y ahora reemplazando en M1 tenemos:

$\dst M_1 = \left( 3 . \sum_{i=0}^n \ 10^i +1 \right)^2$

y por ultimo reagrupando:

$\dst M_1 = \left[ 3 . \left( 1 +\sum_{i=1}^n \ 10^i \right) + 1 \right]^2$

$\dst M_1 = \left( 3 . \sum_{i=1}^n \ 10^i +4 \right)^2$

La cual verifica el 2º miembro de la formula (1), por lo cual (y tambien gracias a carroza), creo que el proceso y el resultado es correcto.

s.e.u.o.

Suerte

[carroza]

Re: 16 es un cuadrado perfecto

Hola.

Bueno, en realidad para verlo, me fijé en los resultados de las raices cuadradas:

Estos son 4, 34, 334, 3334, etc. Esto sugiere una forma general, de tipo (10/3 + 2/3), (100/3 + 2/3), (1000/3 + 2/3).

Haciendo el cuadrado de estas expresiones, sale la regla.


Un saludo