Anuncio

Colapsar
No hay ningún anuncio todavía.

(P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Colapsar
X
 
  • Filtro
  • Hora
  • Mostrar
Borrar todo
nuevos mensajes

  • Olimpiada (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

    Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

    PROBLEMA 1

    Prueba que el número es divisible por .


    PISTA

    Ocultar contenido
    Utiliza el Teorema de Euler


    Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]
    Última edición por angel relativamente; 12/12/2017, 14:04:07.
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

    Hola:

    Escrito por angel relativamente Ver mensaje
    PROBLEMA 1

    Prueba que el número es divisible por .
    Ocultar contenido
    Llamamos por comodidad:



    y



    de esta forma podemos escribir la ecuacion como:



    de aca tomamos el 1º y 3º termino y le aplicamos el binomio de Newton:





    restando ambos desarrollos tenemos:



    y la ecuación inicial queda:



    de acá se ve inmediatamente que todos los términos del 2º miembro (excepto el ultimo son divisibles por x^2). Verifiquemos por definición de combinatoria que el ultimo también lo es:



    y como del enunciado resulta que , queda:



    que también es divisible por x^2, con lo cual queda demostrado.

    Hace mucho que no estoy de amigo con las matemáticas, por lo que se puede haber colado algún error.
    La ayuda la vi despues de encarar el problema, disculpas si no es la solución esperada (si es que de algún modo mi solución esta bien).

    s.e.u.o.

    Suerte!
    No tengo miedo !!! - Marge Simpson
    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

    Comentario


    • #3
      Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

      Esta muy bien Breogan ¡enhorabuena por la solución!

      Es verdad que no era la esperada, que es la que marca en la pista, pero no por ello es peor.
      Animo al resto a que hagáis vuestro intento

      Saludos
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

      Comentario


      • #4
        Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

        Ocultar contenido

        2017(mod2017)\equiv0
        2018(mod2017)\equiv1
        2016(mod2017)\equiv-1
        Entonces tenemos:
        {1}^{ 2017•2016} +0- {-1}^{2017•2016}
        Da igual a 0, como que el resto es 0 entonces es divisible por 2017.
        No se como se pone escribe bien esto ni como de hace lo de mod, pero creo que la parte del razonamiento está bien.
        No se si algo de lo que he puesto tiene sentido.
        Edit: me he dado cuenta que tampoco se como se ponen los signos, pero /equiv es congruente/equivalente
        Última edición por Sagitario A; 13/12/2017, 14:25:28.

        Comentario


        • #5
          Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

          Hola Sagitario A, gracias por dar una respuesta.
          Deberías echarle un ojo al hilo de cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

          Con respecto al problema

          Ocultar contenido
          Tu razonamiento es correcto, pero está a medias. El problema pedía ver la divisibilidad por .

          Suerte
          [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

          Comentario


          • #6
            Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

            Hola:

            Escrito por angel relativamente Ver mensaje
            PROBLEMA 1

            Prueba que el número es divisible por .
            Voy a intentar resolverlo aplicando la pista suministrada por angel, aclaro que no me acuerdo nada de este tema, y que tuve que consultar reiteradamente en la web.

            Ocultar contenido

            Para simplificar la escritura de la ecuación, llamamos:



            y la ecuación del problema queda:



            El enunciado del problema nos pide demostrar que:



            es decir que al hacer la división de la ecuación por en , el resto sea cero.
            Ahora se comprueba fácilmente que:



            por lo cual tambien se debe cumplir que:


            y esto es lo que trataremos de demostrar.

            La ecuación de Euler nos dice que:



            Mirando la ecuación (1) y teniendo en cuenta que:



            porque que implica que los restos de las divisiones son igual a 1

            probamos con lo siguiente:





            Ahora por las propiedades de la función de Euler tenemos que:



            quedando:





            y con las propiedades de las congruencias hacemos:







            Con lo que llegamos a demostrar lo pedido.

            Espero no haber escrito una burrada.

            s.e.u.o.

            Suerte!
            Última edición por Breogan; 14/12/2017, 21:12:27.
            No tengo miedo !!! - Marge Simpson
            Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

            Comentario


            • #7
              Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

              Mi solución

              Ocultar contenido
              La función de euler nos indica que . Por el teorema de Euler resulta que es congruente con 1 módulo 2017, entonces resulta que la ecuación original queda en que módulo (2017), por lo que es divisible.
              "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

              \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

              Comentario


              • #8
                Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

                Para Breogan:

                Ocultar contenido
                Es correcta la solución, ¡enhorabuena de nuevo!
                El único fallo que te encuentro es que lo has hecho excesivamente largo. Has llamado supuestamente para simplificar la escritura, pero luego parece que lo has demostrado para toda expresión de esa forma, con primo, que es más de lo que pedían. En efecto date cuenta que cuando has usado has supuesto que es primo (y efectivamente 2017 lo es), pero si hubieses partido de que es primo no hacía falta justificar que y eran coprimos. Si juntas todo lo que has hecho, usando los números que te da el enunciado, se resuelve en dos líneas

                Para Malevolex:

                Ocultar contenido
                ¡Enhorabuena por la solución! Solo hay algunas erratas: Entiendo que en todo momento has querido poner y no . Si es así, la solución es correcta. Lo único, para que esté perfecta, sería justificar que puedes aplicar el teorema de Euler (que la y el sean coprimos), lo cual es trivial pero habría que decirlo.
                [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

                Comentario


                • #9
                  Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

                  [FONT=Arial]Saludos.

                  [/FONT]
                  Ocultar contenido
                  [FONT=Arial]A mí me da la impresión de que, tomados tres números consecutivos cualesquiera, elevados cada uno a un mismo exponente, el mayor, más el siguiente, menos el menor, dará un resultado siempre divisible entre el cuadrado del exponente, lo que no se ve afectado porque tal exponente esté multiplicado por cualquier otro número.[/FONT]
                  [FONT=Arial]Para tres números consecutivos: A, B y C, Cx+Bx-Ax será siempre divisible entre X2.,[/FONT]
                  [FONT=Arial]independientemente de que X se multiplique por cualquier número.

                  [/FONT][FONT=Arial]...Y me da también la impresión de que puede reducirse a una regla aún más simple, pero muy probablemente me equivoque.[/FONT]
                  [FONT=Arial]
                  Ah, no… Hice algunas pruebas con potencias de exponentes pequeños y obtuve siempre ese resultado bastante improbable, pero ahora veo que en otros casos no. Perdón.[/FONT]
                  Última edición por TEG; 19/12/2017, 10:17:55.

                  Comentario

                  Contenido relacionado

                  Colapsar

                  Trabajando...
                  X