Olimpiada (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

[angel relativamente]

Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

PROBLEMA 1

Prueba que el número $2018^{2017\cdot 2016}+2017^{2017\cdot 2016}-2016^{2017\cdot 2016}$ es divisible por $2017^2$.


PISTA

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Utiliza el Teorema de Euler

Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]

[Breogan]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Hola:

PROBLEMA 1

Prueba que el número $2018^{2017\cdot 2016}+2017^{2017\cdot 2016}-2016^{2017\cdot 2016}$ es divisible por $2017^2$.

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Llamamos por comodidad:

$\dst x = 2017$

y

$\dst n = 2017 \cdot 2016 = x \cdot 2016 \quad \Rightarrow \quad n \ \in \ \{\mathbb N \ pares \}$

de esta forma podemos escribir la ecuacion como:

$\dst (x + 1)^n + x^n - (x - 1)^n$

de aca tomamos el 1º y 3º termino y le aplicamos el binomio de Newton:

$\dst (x + 1)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} x^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \ldots + \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$

$\dst (x - 1)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} x^n - \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \ldots - \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$

restando ambos desarrollos tenemos:

$\dst (x + 1)^n - (x - 1)^n = 2 \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \ldots + 2 \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x$

y la ecuación inicial queda:

$\dst (x + 1)^n + x^n - (x - 1)^n = x^n + 2 \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \ldots + 2 \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x$

de acá se ve inmediatamente que todos los términos del 2º miembro (excepto el ultimo son divisibles por x^2). Verifiquemos por definición de combinatoria que el ultimo también lo es:

$\dst \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x = \frac {n!}{(n-1)! [n-(n-1)]!} \ x = \frac {n!}{(n-1)!} \ x = \frac {n (n-1)!}{(n-1)!} \ x = n \ x$

y como del enunciado resulta que $n = x \cdot 2016$, queda:

$\dst \begin{pmatrix} n \\ n - 1 \end{pmatrix} x = x^2 \ 2016$

que también es divisible por x^2, con lo cual queda demostrado.

Hace mucho que no estoy de amigo con las matemáticas, por lo que se puede haber colado algún error.
La ayuda la vi despues de encarar el problema, disculpas si no es la solución esperada (si es que de algún modo mi solución esta bien).

s.e.u.o.

Suerte!

[angel relativamente]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Esta muy bien Breogan ¡enhorabuena por la solución!

Es verdad que no era la esperada, que es la que marca en la pista, pero no por ello es peor.
Animo al resto a que hagáis vuestro intento

Saludos

[Sagitario A]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

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2017(mod2017)\equiv0
2018(mod2017)\equiv1
2016(mod2017)\equiv-1
Entonces tenemos:
{1}^{ 2017•2016} +0- {-1}^{2017•2016}
Da igual a 0, como que el resto es 0 entonces es divisible por 2017.
No se como se pone escribe bien esto ni como de hace lo de mod, pero creo que la parte del razonamiento está bien.

No se si algo de lo que he puesto tiene sentido.
Edit: me he dado cuenta que tampoco se como se ponen los signos, pero /equiv es congruente/equivalente

[angel relativamente]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Hola Sagitario A, gracias por dar una respuesta.
Deberías echarle un ojo al hilo de cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Con respecto al problema

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Tu razonamiento es correcto, pero está a medias. El problema pedía ver la divisibilidad por $2017^2$.

Suerte

[Breogan]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Hola:

PROBLEMA 1

Prueba que el número $2018^{2017\cdot 2016}+2017^{2017\cdot 2016}-2016^{2017\cdot 2016}$ es divisible por $2017^2$.

Voy a intentar resolverlo aplicando la pista suministrada por angel, aclaro que no me acuerdo nada de este tema, y que tuve que consultar reiteradamente en la web.

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Para simplificar la escritura de la ecuación, llamamos:

$\dst m = 2017 \quad n = 2016$

y la ecuación del problema queda:

$\dst (m+1)^{m.n} + m^{m.n} - (m-1)^{m.n}$

El enunciado del problema nos pide demostrar que:

$\dst (m+1)^{m.n} + m^{m.n} - (m-1)^{m.n} \equiv 0 \ mod(m^2)$

es decir que al hacer la división de la ecuación por $m^2$ en $\mathbb Z$, el resto sea cero.
Ahora se comprueba fácilmente que:

$\dst m^{m.n} \equiv 0 \ mod(m^2)$

por lo cual tambien se debe cumplir que:

$$\dst (m+1)^{m.n} - (m-1)^{m.n} \equiv 0 \ mod(m^2)$$

y esto es lo que trataremos de demostrar.

La ecuación de Euler nos dice que:

$\dst a^{\phi(b)} \equiv 1 \ mod(b) \quad donde \ a \ y \ b \ son \ coprimos$

Mirando la ecuación (1) y teniendo en cuenta que:

$\dst m^2 \ y \ (m - 1) \ son \ coprimos \quad y \quad m^2 \ y \ (m+1) \ son \ coprimos$

porque $\dst m^2 = (m + 1) \cdot (m - 1) + 1$ que implica que los restos de las divisiones $\dst \frac{m^2}{m+1} \ y \ \frac{m^2}{m-1}$ son igual a 1

probamos con lo siguiente:

$\dst (m + 1)^{\dst \phi(m^2)} \equiv 1 \ mod (m^2)$

$\dst (m - 1)^{\dst \phi(m^2)} \equiv 1 \ mod (m^2)$

Ahora por las propiedades de la función de Euler tenemos que:

$\dst \phi(m^2) = (m - 1) \cdot m^{(2-1)} = n \cdot m$

quedando:

$\dst (m + 1)^{\dst m \cdot n} \equiv 1 \ mod (m^2)$

$\dst (m - 1)^{\dst m \cdot n} \equiv 1 \ mod (m^2)$

y con las propiedades de las congruencias hacemos:

$\dst (m + 1)^{\dst m \cdot n} - (m - 1)^{\dst m \cdot n} \equiv [1 - (m - 1)^{\dst m \cdot n}] \ mod (m^2)$

$\dst (m + 1)^{\dst m \cdot n} - (m - 1)^{\dst m \cdot n} \equiv [1 - 1] \ mod (m^2)$

$\dst (m + 1)^{\dst m \cdot n} - (m - 1)^{\dst m \cdot n} \equiv 0 \ mod (m^2)$

Con lo que llegamos a demostrar lo pedido.

Espero no haber escrito una burrada.

s.e.u.o.

Suerte!

[Visitante]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Mi solución

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La función de euler nos indica que $\varphi (2017)={2017}^{2 }(1-\frac{1}{2017 })=2017*2016$. Por el teorema de Euler resulta que ${a}^{2017*2016 }$ es congruente con 1 módulo 2017, entonces resulta que la ecuación original queda en que $\equiv 1+0-1 \equiv 0$ módulo (2017), por lo que es divisible.

[angel relativamente]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

Para Breogan:

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Es correcta la solución, ¡enhorabuena de nuevo!
El único fallo que te encuentro es que lo has hecho excesivamente largo. Has llamado $m=2017$ supuestamente para simplificar la escritura, pero luego parece que lo has demostrado para toda expresión de esa forma, con $m$ primo, que es más de lo que pedían. En efecto date cuenta que cuando has usado $\varphi(m^2)=m(m-1)$ has supuesto que $m$ es primo (y efectivamente 2017 lo es), pero si hubieses partido de que es primo no hacía falta justificar que $m^2$ y $m\pm 1$ eran coprimos. Si juntas todo lo que has hecho, usando los números que te da el enunciado, se resuelve en dos líneas

Para Malevolex:

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¡Enhorabuena por la solución! Solo hay algunas erratas: Entiendo que en todo momento has querido poner $\varphi(2017^2 )$ y no $\varphi(2017)$. Si es así, la solución es correcta. Lo único, para que esté perfecta, sería justificar que puedes aplicar el teorema de Euler (que la $a$ y el $2017^2$ sean coprimos), lo cual es trivial pero habría que decirlo.

[TEG]

Re: (P 1/4) Año Nuevo Matemático 2018

[FONT=Arial]Saludos.

[/FONT]

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[FONT=Arial]A mí me da la impresión de que, tomados tres números consecutivos cualesquiera, elevados cada uno a un mismo exponente, el mayor, más el siguiente, menos el menor, dará un resultado siempre divisible entre el cuadrado del exponente, lo que no se ve afectado porque tal exponente esté multiplicado por cualquier otro número.[/FONT]
[FONT=Arial]Para tres números consecutivos: A, B y C, C^x+B^x-A^x será siempre divisible entre X^2.,[/FONT]
[FONT=Arial]independientemente de que X se multiplique por cualquier número.

[/FONT][FONT=Arial]...Y me da también la impresión de que puede reducirse a una regla aún más simple, pero muy probablemente me equivoque.[/FONT]
[FONT=Arial]
Ah, no… Hice algunas pruebas con potencias de exponentes pequeños y obtuve siempre ese resultado bastante improbable, pero ahora veo que en otros casos no. Perdón.[/FONT]