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(P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

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  • Olimpiada (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

    Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

    PROBLEMA 2

    Demuestra que

    PISTA

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    Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]
    Última edición por angel relativamente; 19/12/2017, 21:33:53.
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

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    Con este me atrevo a, al menos intentarlo. Si P es el producto buscado:



    Aplicando la pista:



    Por lo tanto

    Pero no consigo demostrar que como dice el enunciado

    Por fuerza bruta obtengo

    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

      Gracias Alriga por (el intento de) solución. No te ha dado lo que pedía pero... ¡has estado cerca!

      Ocultar contenido
      Fuera bromas, con una muy pequeña modificación a lo que ya has hecho puedes acotarlo mejor

      En cualquier caso, gracias también por tu solución por métodos numéricos. Nunca falla (o al menos en los primeros decimales...)
      Última edición por angel relativamente; 19/12/2017, 21:50:10.
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

      Comentario


      • #4
        Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

        Hola:

        Escrito por angel relativamente Ver mensaje

        PROBLEMA 2

        Demuestra que
        Acá aporto mi intento de solución.

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        Hacemos:





        y como:



        Resulta que:



        y como P es una sumatoria de términos todos positivos, queda



        Esto ultimo se puede asociar a una serie geométrica de razon 1/2, cuya suma es la siguiente:









        Por lo cual:



        Por ultimo:



        Y hasta acá llegue.

        Te pido disculpas anticipadas por lo largo del desarrollo (como en el anterior caso), pero tengo dos problemas que me impiden ser mas conciso, los desarrollos los hago enteramente en el editor de texto de la web (después solo borro partes), y tengo una desconfianza patológica sobre mis conocimientos acerca de lo que escribo, así que tiendo a justificar(me) todo detalle.

        Espero estar cerca de la solución, sin mayores burradas.

        s.e.u.o.

        Suerte!
        No tengo miedo !!! - Marge Simpson
        Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

        Comentario


        • #5
          Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

          Ocultar contenido

          Mi aproximación era

          La de Breogan es

          Ha mejorado la mía, pero por muuuy poquito Saludos Breogan.
          "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

          Comentario


          • #6
            Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

            Hola

            Ocultar contenido


            se me ocurre un idea para mejorar los resultados de Alriga y Broegan, usando la pista



            pues como de mates no se demasiado , me pregunto si esta regla es aplicable para todas las bases de logaritmo es decir es ? pues Alriga uso Base para

            si esto es cierto el problema se resuelve haciendo



            que debe dar algo cercano a

            pero me imagino que como siempre no acierto, el resultado del problema no debe depender de la base que se elija.





            Saludos
            Última edición por Richard R Richard; 21/12/2017, 01:30:13.

            Comentario


            • #7
              Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

              Para Richard:

              Ocultar contenido

              La propiedad que dan de pista es para el logaritmo neperiano. Comprueba que no se cumple para base 2:

              Si





              Y el valor de P calculado mediante métodos numéricos es

              Saludos.

              ¡Eureka!

              Ocultar contenido



              Aplicando la pista :









              c.q.d.

              No es la solución más elegante del mundo, pero creo que es correcta.

              Saludos.
              Última edición por Alriga; 21/12/2017, 12:08:53. Motivo: Aportar solución
              "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

              Comentario


              • #8
                Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

                Hola, dejo mi intento a ver si os convence, aunque es muy parecido a los que habéis puesto hasta ahora. Al principio lo intenté como Alriga y la verdad es que como no funcionaba intenté pensar cosas demasiado complejas y me fui por los cerros de Úbeda. Al final he asentado la cabeza y me ha salido esto.


                Ocultar contenido


                En la última desigualdad he aplicado la fórmula para sumar los primeros términos a partir de de una serie geométrica y sale un resultado menor que un medio. Finalmente:



                PD: Quitando más sumandos de y haciendo el mismo procedimiento se obtienen cotas mejores que . Por ejemplo quitando 5 sumandos obtengo la cota , aunque hay que usar ordenador para hacer los cálculos.

                Última edición por Weip; 21/12/2017, 14:04:37.
                \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epislon_0}

                Comentario


                • #9
                  Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

                  Ocultar contenido
                  Entiendo que la solución de Weip y la mía es básicamente la misma:

                  - Weip toma 1 sumando exacto del logaritmo del producto buscado, y aproxima el valor del resto de sumandos.

                  - Yo tomo 3 sumandos exactos del logaritmo del producto buscado, y aproximo el valor del resto.

                  Saludos.
                  "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                  Comentario


                  • #10
                    Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

                    Escrito por Alriga Ver mensaje
                    Entiendo que la solución de Weip y la mía es básicamente la misma
                    Sí, es verdad, es la misma demostración. Esto hace que tenga más confianza en ella. Ahora es cuando viene angel relativamente y nos dice que está mal jaja.
                    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epislon_0}

                    Comentario


                    • #11
                      Re: (P 2/4) Año Nuevo Matemático 2018

                      ¡Muchas gracias por vuestras soluciones!
                      Perdonad que estoy sin acceso a internet y con el movil no puedo explayarme mucho.
                      La solución correcta es la de Alriga-Weip

                      Ocultar contenido
                      En efecto, el truco era ese: Estamos acotando el valor de un producto a base de acotar cada factor. Si los acotamos todos,
                      obtenemos una cota regular ( ). Si algunos los calculamos antes de acotar (especialmente los primeros), mejoraremos la cota del producto. Por supuesto cuantos más calcules mejor será tu cota, hasta el punto de que si los calculas todos tienes el resultado exacto. La solución está pensada para hacrrlo como weip, ya que calculando el primer termino ya obtienes lo que buscas. Además, que así se puede hacer hasta a mano sin calculadora, solo habria que comprobar que

                      Gracias al resto por los intentos, espero que os haya entretenido
                      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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