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Unión de conjuntos numerables y no numerables

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  • 1r ciclo Unión de conjuntos numerables y no numerables

    ¿Cómo demuestro formalmente que la unión de conjuntos numerables y uno no numerables es no numerable?
    "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

    \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

  • #2
    Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

    ¿Qué te definición te han dado de conjunto numerable?

    Yo voy a usar la definición: es numerable si existe inyectiva.

    Si no es numerable y es cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe inyectiva. Está claro que es inyectiva, luego sería numerable, y tendríamos una contradicción.
    Última edición por alexpglez; 03/12/2017, 00:54:19.
    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

    Comentario


    • #3
      Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

      Escrito por alexpglez Ver mensaje
      ¿Qué te definición te han dado de conjunto numerable?

      Yo voy a usar la definición: es numerable si existe inyectiva.
      ¿No tendría que ser biyectiva?
      "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

      \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

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      • #4
        Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

        Escrito por Malevolex Ver mensaje
        ¿No tendría que ser biyectiva?
        Se me ocurre que no, porque un conjunto finito es numerable pero no puede haber una función biyectiva con los naturales.

        Comentario


        • #5
          Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

          Escrito por Malevolex Ver mensaje
          ¿No tendría que ser biyectiva?
          Según wikipedia: "Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva f desde S a los números naturales N"

          Saludos
          [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

          Comentario


          • #6
            Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

            Escrito por Malevolex Ver mensaje
            ¿No tendría que ser biyectiva?
            No, a mi también me lo explicaron como dicen Jaime y Alex:

            Un conjunto A es numerable si existe una aplicación inyectiva de A en N

            Por otro lado,

            Un conjunto A es infinito numerable si existe una aplicación biyectiva de A en N

            Saludos.
            "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

            Comentario


            • #7
              Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

              Escrito por alexpglez Ver mensaje
              Según wikipedia: "Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva f desde S a los números naturales N"

              Saludos
              Hola,
              Esa es la definición para conjuntos contables.
              A mí la definición que me dieron es que existe una biyección entre los naturales y el conjunto S. En el problema usemos esta definición.
              "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

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              • #8
                Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

                Escrito por Malevolex Ver mensaje
                Hola,
                Esa es la definición para conjuntos contables.
                A mí la definición que me dieron es que existe una biyección entre los naturales y el conjunto S. En el problema usemos esta definición.
                No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

                Sea no numerable y , cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe biyectiva. Está claro que es biyectiva, luego sería numerable, y tendríamos una contradicción.

                Comentario


                • #9
                  Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

                  Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
                  No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

                  Sea no numerable y , cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe biyectiva. Está claro que es biyectiva, luego sería numerable, y tendríamos una contradicción.
                  No estoy del todo de acuerdo,
                  Si una función es biyectiva, la restricción de la función a un subconjunto no es biyectiva, pues al restringir al subconjunto A esta función no es suprayectiva.
                  "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

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                  • #10
                    Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

                    Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
                    No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

                    Sea no numerable y , cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe biyectiva. Está claro que es biyectiva, luego sería numerable, y tendríamos una contradicción.
                    Tiene razón Malevolex, lo mucho que puedes decir es que es inyectiva, y si no es el vacío no podría ser inyectiva (pues estás diciendo que los naturales que "cubría" B ahora los "cubre" A).

                    ¿Qué definición tienes de conjunto no numerable xD? Imagino que tienes por definición, un conjunto es no numerable si no es finito ni se puede establecer una biyección entre él y los naturales.
                    Lo cierto es que no se me ocurre ahora mismo alguna demostración...
                    Si aceptas que es contable si y sólo si es finito o numerable (con la definición que tienes). Entonces te vale la demostración anterior, pero ahora mismo no se me ocurre como demostrar esto de forma fácil (creo que si que se me ocurre de forma difícil, pero quizá me equivoque, así que prefiero no escribirlo...)
                    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

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                    • #11
                      Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

                      Escrito por Malevolex Ver mensaje
                      No estoy del todo de acuerdo,
                      Si una función es biyectiva, la restricción de la función a un subconjunto no es biyectiva, pues al restringir al subconjunto A esta función no es suprayectiva.
                      Tienes razón: no es suprayectiva.

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