1r ciclo Unión de conjuntos numerables y no numerables

[Visitante]

¿Cómo demuestro formalmente que la unión de conjuntos numerables y uno no numerables es no numerable?

[alexpglez]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

¿Qué te definición te han dado de conjunto numerable?

Yo voy a usar la definición: $A$ es numerable si existe $f: A \longrightarrow \mathbb N$ inyectiva.

Si $A$ no es numerable y $B$ es cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe $f : A \cup B \longrightarrow \mathbb N$ inyectiva. Está claro que $f|_A : A \longrightarrow \mathbb N$ es inyectiva, luego $A$ sería numerable, y tendríamos una contradicción.

[Visitante]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

¿Qué te definición te han dado de conjunto numerable?

Yo voy a usar la definición: $A$ es numerable si existe $f: A \longrightarrow \mathbb N$ inyectiva.

¿No tendría que ser biyectiva?

[Jaime Rudas]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

¿No tendría que ser biyectiva?

Se me ocurre que no, porque un conjunto finito es numerable pero no puede haber una función biyectiva con los naturales.

[alexpglez]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

¿No tendría que ser biyectiva?

Según wikipedia: "Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva f desde S a los números naturales N"

Saludos

[Alriga]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

¿No tendría que ser biyectiva?

No, a mi también me lo explicaron como dicen Jaime y Alex:

Un conjunto A es numerable si existe una aplicación inyectiva de A en N

Por otro lado,

Un conjunto A es infinito numerable si existe una aplicación biyectiva de A en N

Saludos.

[Visitante]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

Según wikipedia: "Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva f desde S a los números naturales N"

Saludos

Hola,
Esa es la definición para conjuntos contables.
A mí la definición que me dieron es que existe una biyección entre los naturales y el conjunto S. En el problema usemos esta definición.

[Jaime Rudas]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

Hola,
Esa es la definición para conjuntos contables.
A mí la definición que me dieron es que existe una biyección entre los naturales y el conjunto S. En el problema usemos esta definición.

No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

Sea $A$ no numerable y $B$, cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe $f : A \cup B \longrightarrow \mathbb N$ biyectiva. Está claro que $f|_A : A \longrightarrow \mathbb N$ es biyectiva, luego $A$ sería numerable, y tendríamos una contradicción.

[Visitante]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

Sea $A$ no numerable y $B$, cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe $f : A \cup B \longrightarrow \mathbb N$ biyectiva. Está claro que $f|_A : A \longrightarrow \mathbb N$ es biyectiva, luego $A$ sería numerable, y tendríamos una contradicción.

No estoy del todo de acuerdo,
Si una función es biyectiva, la restricción de la función a un subconjunto no es biyectiva, pues al restringir al subconjunto A esta función no es suprayectiva.

[alexpglez]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

No sabía que hubiera esa diferencia entre contable y numerable; sin embargo, me parece que, en ese caso, la demostración podría ser casi la misma que presentó Alexpglez:

Sea $A$ no numerable y $B$, cualquier otro conjunto. Supongamos que la unión es numerable, es decir que existe $f : A \cup B \longrightarrow \mathbb N$ biyectiva. Está claro que $f|_A : A \longrightarrow \mathbb N$ es biyectiva, luego $A$ sería numerable, y tendríamos una contradicción.

Tiene razón Malevolex, lo mucho que puedes decir es que $f|_A$ es inyectiva, y si $B$ no es el vacío no podría ser inyectiva (pues estás diciendo que los naturales que "cubría" B ahora los "cubre" A).

¿Qué definición tienes de conjunto no numerable xD? Imagino que tienes por definición, un conjunto es no numerable si no es finito ni se puede establecer una biyección entre él y los naturales.
Lo cierto es que no se me ocurre ahora mismo alguna demostración...
Si aceptas que $A$ es contable si y sólo si es finito o numerable (con la definición que tienes). Entonces te vale la demostración anterior, pero ahora mismo no se me ocurre como demostrar esto de forma fácil (creo que si que se me ocurre de forma difícil, pero quizá me equivoque, así que prefiero no escribirlo...)

[Jaime Rudas]

Re: Unión de conjuntos numerables y no numerables

No estoy del todo de acuerdo,
Si una función es biyectiva, la restricción de la función a un subconjunto no es biyectiva, pues al restringir al subconjunto A esta función no es suprayectiva.

Tienes razón: no es suprayectiva.