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Ecuación diferencial de termodinámica

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  • 1r ciclo Ecuación diferencial de termodinámica

    Hola a todo el mundo.

    Tengo un problema entre manos que ha resultado ser mucho más complejo de lo que podía imaginar (típico ). Se trata de encontrar las ecuaciones de movimiento para un pistón cilíndrico de masa y de área efectiva encajado en un tubo también cilíndrico del mismo radio con un gas a presión encerrado en un volumen por un lado del pistón y el vacío por el otro lado. El tubo tiene una pared por el extremo del gas y es infinito en la dirección del vacío. El pistón está situado en una distancia de la pared del tubo.

    A primera vista es un experimento sencillo, pero se trata de un proceso adiabático en donde ni la presión ni el volumen ni la temperatura son constantes y hay que tirar de ecuaciones diferenciales. Lo único constante es la entropía, solo que no sé como usarl esto para ayudarme en el resultado.

    Por si he cometido algún error de planteamiento explicaré mis razonamientos:

    Como el volumen es proporcional a la posición del pistón ya que el área efectiva es constante, podemos decir que Por otro lado tenemos que Por lo tanto podemos decir que


    Entonces corresponde a la energía potencial del pistón y la podemos expresar como

    Ahora podemos plantear la conservación de la energía con


    Para simplificarlo, elegimos el caso para Expresado de manera implícita y anulando las masas nos queda


    Como ya me indicó hennin en éste post, la ecuación no es lineal y es autónoma. El problema es que más allá de las ecuaciones lineales no tengo la menor idea de como resolverlas. Lo de autónoma aún no tengo muy claro lo que significa exactamente, ni de como se trata para solucionarlo.

    Otro consejo de hennin fue el de estudiar el espacio de fases para ver su comportamiento. Lo único que he podido hacer para separar los términos de momento y posición es


    Antes que nada, decir que la función de aceleración respecto del tiempo debe ser una función de distribución de origen exponencial (creo), con su integral de cero a infinito convergente a la velocidad terminal del pistón.


    Por otro lado debe cumplirse que la aceleración inicial respecto del tiempo, es un máximo de la función.


    Por lo tanto, entorno al punto el sistema es un MRUA y cuando es sistema tiende a un MRU.

    El problema es que todo esto no sé como usarlo para la solución. A lo máximo que llego es a


    A partir de aquí no sé como seguir. Puedo despejar en términos de un exponencial de la integral de la inversa de respecto del tiempo,


    pero es precisamente x(t) lo que estoy buscando. ¿Además, qué significado físico tiene la integral a lo largo del tiempo de la inversa de la posición? tiene dimensión de la inversa de una velocidad pero no parece que sea la velocidad ordinaria. Eso sí, despejando obtengo una función exponencial () que es integral indefinida de una función de distribución que tiende al momento lineal terminal cuando tiende a infinito. Esto solo indica que seguramente no he cometido errores pero la variable está en términos de en lugar de

    La verdad es que esto me supera un poco, ya que no dispongo de las herramientas ni el conocimiento necesario. En todos los casos me quedo con una función de dos variables ( y sus funciones inversas) y no encuentro otra ecuación para crear un sistema.

    No sé si es que el problema supera mi habilidad o es que me estoy complicando la vida y es más fácil de resolver por otro camino.

    ¿Alguien puede echarme un cable?

    Gracias y saludos.
    [FONT=Arial]Una nueva verdad científica no se acepta porqué se convenza a todos sus detractores haciéndoles ver la luz, si no porqué los detractores desaparecen paulatinamente mientras crece una nueva generación familiarizada con ella.

    Max Planck.
    [/FONT]

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