1r ciclo Ecuación diferencial de termodinámica

[guibix]

Hola a todo el mundo.

Tengo un problema entre manos que ha resultado ser mucho más complejo de lo que podía imaginar (típico ). Se trata de encontrar las ecuaciones de movimiento para un pistón cilíndrico de masa $m$ y de área efectiva $A=\pi r^2$ encajado en un tubo también cilíndrico del mismo radio con un gas a presión $P_0$ encerrado en un volumen $V_0$ por un lado del pistón y el vacío por el otro lado. El tubo tiene una pared por el extremo del gas y es infinito en la dirección del vacío. El pistón está situado en una distancia $x_0$ de la pared del tubo.

A primera vista es un experimento sencillo, pero se trata de un proceso adiabático en donde ni la presión ni el volumen ni la temperatura son constantes y hay que tirar de ecuaciones diferenciales. Lo único constante es la entropía, solo que no sé como usarl esto para ayudarme en el resultado.

Por si he cometido algún error de planteamiento explicaré mis razonamientos:

Como el volumen es proporcional a la posición del pistón ya que el área efectiva es constante, podemos decir que $V=Ax.$ Por otro lado tenemos que $P=F/A.$ Por lo tanto podemos decir que

$$PV=Fx$$

Entonces $Fx$ corresponde a la energía potencial del pistón y la podemos expresar como $mx\ddot x.$

Ahora podemos plantear la conservación de la energía con

$$E=\frac 1 2 m\dot x_0^2+mx_0\ddot x_0=\frac 1 2 m\dot x^2+mx\ddot x$$

Para simplificarlo, elegimos el caso para $\dot x_0=0.$ Expresado de manera implícita y anulando las masas nos queda

$$\frac 1 2 \dot x^2+x\ddot x-x_0\ddot x_0=0$$

Como ya me indicó hennin en éste post, la ecuación no es lineal y es autónoma. El problema es que más allá de las ecuaciones lineales no tengo la menor idea de como resolverlas. Lo de autónoma aún no tengo muy claro lo que significa exactamente, ni de como se trata para solucionarlo.

Otro consejo de hennin fue el de estudiar el espacio de fases para ver su comportamiento. Lo único que he podido hacer para separar los términos de momento y posición es

$$x=\frac{\dot p_0x_0}{\dot p} -\frac{p^2}{2m\dot p}$$

Antes que nada, decir que la función de aceleración respecto del tiempo debe ser una función de distribución de origen exponencial (creo), con su integral de cero a infinito convergente a la velocidad terminal del pistón.

$$\int_0^\infty \ddot x \dd t=\lim_{t\to\infty}\dot x=\sqrt{2x_0\ddot x_0}$$

Por otro lado debe cumplirse que la aceleración inicial respecto del tiempo, es un máximo de la función.

$$\dddot x_0=0.$$

Por lo tanto, entorno al punto $t=0$ el sistema es un MRUA y cuando $t\to\infty$ es sistema tiende a un MRU.

El problema es que todo esto no sé como usarlo para la solución. A lo máximo que llego es a

$$\begin{aligned}<br /> \int_0^t\frac 1 x \dd t & = \int_0^p\frac {2m}{2m\dot p_0x_0-p^2}\dd p,\\<br /> \sqrt{\frac{2\dot p_0x_0}{m}}\int_0^t\frac 1 x\dd t & = \ln \left[\frac{\sqrt{2m\dot p_0x_0}+p}{\sqrt{2m\dot p_0x_0}-p}\right].<br /> \end{aligned}<br />$$

A partir de aquí no sé como seguir. Puedo despejar $p$ en términos de un exponencial de la integral de la inversa de $x$ respecto del tiempo,

$$p=\sqrt{2m\dot p_0x_0}\tanh \left(\sqrt{\frac{2\dot p_0x_0}{m}}\int_0^t\frac 1 x\dd t\right),$$

pero es precisamente x(t) lo que estoy buscando. ¿Además, qué significado físico tiene la integral a lo largo del tiempo de la inversa de la posición? tiene dimensión de la inversa de una velocidad pero no parece que sea la velocidad ordinaria. Eso sí, despejando $p$ obtengo una función exponencial ($\tanh$) que es integral indefinida de una función de distribución que tiende al momento lineal terminal cuando $t$ tiende a infinito. Esto solo indica que seguramente no he cometido errores pero la variable está en términos de $\int_0^t\frac 1 x \dd t$ en lugar de $t.$

La verdad es que esto me supera un poco, ya que no dispongo de las herramientas ni el conocimiento necesario. En todos los casos me quedo con una función de dos variables ($x(p,\dot p)$ y sus funciones inversas) y no encuentro otra ecuación para crear un sistema.

No sé si es que el problema supera mi habilidad o es que me estoy complicando la vida y es más fácil de resolver por otro camino.

¿Alguien puede echarme un cable?

Gracias y saludos.