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Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

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  • Otras carreras Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

    Hola!
    Tenía un problema con un ejercicio propuesto en un libro, supuse que era sencillo pero no puedo con él:

    Sea un espacio vectorial (finito o infinito) sobre , y una función lineal, entonces:
    a)
    b) Podemos escribir con
    c) Sea lineal con , entonces existe tal que
    d) Más en general si y entonces para ciertas constantes reales.

    El a) obviamente es trivial. Los demás ni idea, de hecho ¿si la función lleva a todo vector al nulo , no existiría el ?

    Gracias, saludos
    Última edición por alexpglez; 27/08/2018, 17:50:04.
    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

  • #2
    Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

    Escrito por alexpglez Ver mensaje
    Hola!
    Tenía un problema con un ejercicio propuesto en un libro, supuse que era sencillo pero no puedo con él:

    Sea un espacio vectorial (finito o infinito) sobre , y una función lineal, entonces:
    a)
    b) Podemos escribir con
    c) Sea lineal con , entonces existe tal que
    d) Más en general si y entonces para ciertas constantes reales.

    El a) obviamente es trivial. Los demás ni idea, de hecho ¿si la función lleva a todo vector al nulo , no existiría el ?

    Gracias, saludos
    Espera, ¿pero qué es ?
    "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

    \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

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    • #3
      Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

      Escrito por Malevolex Ver mensaje
      Espera, ¿pero qué es ?
      Me refería que existe un espacio vectorial de dimensión 1, tal que .
      [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

      Comentario


      • #4
        Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

        Escrito por alexpglez Ver mensaje
        Sea un espacio vectorial (finito o infinito) sobre , y una función lineal, entonces:
        a)
        c) Sea lineal con , entonces existe tal que
        d) Más en general si y entonces para ciertas constantes reales.
        He intentado hacer esto, a ver qué te parece:
        a) luego
        b) Ya lo he conseguido. Fíjate:
        Sea tal que
        lo podemos escribir como
        Por un lado luego
        Por otro lado, . Además pues si y tenemos que y y por tanto y por lo que queda probado. Luego
        y .
        c) Sea
        Si entonces . Luego donde
        Si pero . Para se cumple que
        Si entonces . Para se cumple que
        d) Este lo he intentado hacer por inducción fuerte.
        Hemos probado que se cumple para n=1, supongamos que se cumple hasta n, vamos a ver si se cumple para n+1:
        si entonces y la demostración es trivial.
        si pero la demostración también es inmediata para .
        si entonces , puede ocurrir varias cosas, si para o cualquier número menor que n entonces se cumple por la hipótesis de inducción. Por otro lado, si v no pertenece a ningún núcleo de para , tenemos que cada , luego para se cumple.
        Y así queda demostrado para n+1.

        Las demostraciones que acabo de hacer me parecen un poco rebuscadas, pero no se me ocurría otra cosa.

        Salud
        Última edición por Malevolex; 28/08/2018, 08:06:58.
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        \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

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        • #5
          Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

          De todas formas estaba pensando que quizá está mal el enunciado, o al menos se debe tener que la función no es nula, pues de serlo, no puedes dividir por ejemplo como en la demostración de b) .

          Gracias
          [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

          Comentario


          • #6
            Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

            Escrito por alexpglez Ver mensaje
            De todas formas estaba pensando que quizá está mal el enunciado, o al menos se debe tener que la función no es nula, pues de serlo, no puedes dividir por ejemplo como en la demostración de b) .

            Gracias
            Creo que el enunciado está bien, fíjate que dije que , luego no puede ser .
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