Otras carreras Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

[alexpglez]

Hola!
Tenía un problema con un ejercicio propuesto en un libro, supuse que era sencillo pero no puedo con él:

Sea $V$ un espacio vectorial (finito o infinito) sobre $\mathbb R$, y $f:V\longrightarrow \mathbb R$ una función lineal, entonces:
a) $f(v)w-f(w)v \; \in Ker \; f \;\;\; \forall v,w \in V$
b) Podemos escribir $V=Ker \; f \oplus W$ con $dim(W)=1$
c) Sea $g:V \longrightarrow \mathbb R$ lineal con $Ker \; f \subset Ker \; g$, entonces existe $\lambda \in \mathbb R$ tal que $g=\lambda f$
d) Más en general si $g,f_1,...,f_k : V \longrightarrow \mathbb R$ y $\cap_i Ker \; f_i \subset Ker \; g$ entonces $g=\sum_i \lambda_i f_i$ para ciertas constantes reales.

El a) obviamente es trivial. Los demás ni idea, de hecho ¿si la función lleva a todo vector al nulo $Ker \; f=V$, no existiría el $W$?

Gracias, saludos

[Visitante]

Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

Hola!
Tenía un problema con un ejercicio propuesto en un libro, supuse que era sencillo pero no puedo con él:

Sea $V$ un espacio vectorial (finito o infinito) sobre $\mathbb R$, y $f:V\longrightarrow \mathbb R$ una función lineal, entonces:
a) $f(v)w-f(w)v \; \in Ker \; f \;\;\; \forall v,w \in V$
b) Podemos escribir $V=Ker \; f \oplus W$ con $dim(W)=1$
c) Sea $g:V \longrightarrow \mathbb R$ lineal con $Ker \; f \subset Ker \; g$, entonces existe $\lambda \in \mathbb R$ tal que $g=\lambda f$
d) Más en general si $g,f_1,...,f_k : V \longrightarrow \mathbb R$ y $\cap_i Ker \; f_i \subset Ker \; g$ entonces $g=\sum_i \lambda_i f_i$ para ciertas constantes reales.

El a) obviamente es trivial. Los demás ni idea, de hecho ¿si la función lleva a todo vector al nulo $Ker \; f=V$, no existiría el $W$?

Gracias, saludos

Espera, ¿pero qué es $W$?

[alexpglez]

Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

Espera, ¿pero qué es $W$?

Me refería que existe un espacio vectorial de dimensión 1, $W$ tal que $V=Ker \; f \oplus W$.

[Visitante]

Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

Sea $V$ un espacio vectorial (finito o infinito) sobre $\mathbb R$, y $f:V\longrightarrow \mathbb R$ una función lineal, entonces:
a) $f(v)w-f(w)v \; \in Ker \; f \;\;\; \forall v,w \in V$
c) Sea $g:V \longrightarrow \mathbb R$ lineal con $Ker \; f \subset Ker \; g$, entonces existe $\lambda \in \mathbb R$ tal que $g=\lambda f$
d) Más en general si $g,f_1,...,f_k : V \longrightarrow \mathbb R$ y $\cap_i Ker \; f_i \subset Ker \; g$ entonces $g=\sum_i \lambda_i f_i$ para ciertas constantes reales.

He intentado hacer esto, a ver qué te parece:
a) $f(f(v)w-f(w)v)=f(v)f(w)-f(w)f(v)=0$ luego $f(v)w-f(w)v \in ker(f)$
b) Ya lo he conseguido. Fíjate:
Sea $v,w \in V$ tal que $w \notin ker(f)$
$v$ lo podemos escribir como $v=f(v)w/f(w) + v- f(v)w/f(w)$
Por un lado $f(v-f(v)w/f(w))=f(v)-f(v)f(w)/f(w)=0$ luego $v-f(v)w/f(w) \in ker(f)$
Por otro lado, $f(v)w/f(w) \in lg(w)$. Además $lg(w)\cap ker(f)=0$ pues si $a \in lg(w)$ y $a \in ker(f)$ tenemos que $a=\lambda w$ y $0=f(a)=f(\lambda w)=\lambda f(w)$ y por tanto $\lambda = 0$ y $a=0$ por lo que queda probado. Luego
$V=ker(f)\oplus lg(w)$ y $dim(lg(w))=1$.
c) Sea $v \in V$
Si $v \in ker(f)$ entonces $v \in ker(g)$. Luego $\lambda f(v)=0=g(v)$ donde $\lambda \in R$
Si $v \notin ker(f)$ pero $v \in ker(g)$. Para $\lambda = 0$ se cumple que $\lambda f(v)=0=g(v)$
Si $v \notin ker(g)$ entonces $v \notin ker(f)$. Para $\lambda = g(v)/f(v)$ se cumple que $\lambda f(v)=g(v)$
d) Este lo he intentado hacer por inducción fuerte.
Hemos probado que se cumple para n=1, supongamos que se cumple hasta n, vamos a ver si se cumple para n+1:
si $v \in {\cap_i}^{n+1 } Ker \; (f_i)$ entonces $v \in ker (g)$ y la demostración es trivial.
si $v \notin {\cap_i}^{n+1 } Ker \; (f_i)$ pero $v \in ker (g)$ la demostración también es inmediata para $\lambda = 0$.
si $v \notin ker (g)$ entonces $v \notin {\cap_i}^{n+1 } Ker \; (f_i)$, puede ocurrir varias cosas, si $v \in {\cap_i}^{n } Ker \; (f_i)$ para $i=1,2...n$ o cualquier número menor que n entonces se cumple por la hipótesis de inducción. Por otro lado, si v no pertenece a ningún núcleo de ${f}_{i }$ para $i=1,2...n,n+1$, tenemos que cada ${f}_{n } (v) \neq 0$, luego para ${\lambda}_{i }=g(v)/({f}_{i }(v)*(n+1))$ $i=1,2...n,n+1$ se cumple.
Y así queda demostrado para n+1.

Las demostraciones que acabo de hacer me parecen un poco rebuscadas, pero no se me ocurría otra cosa.

Salud

[alexpglez]

Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

De todas formas estaba pensando que quizá está mal el enunciado, o al menos se debe tener que la función no es nula, pues de serlo, no puedes dividir por ejemplo como en la demostración de b) $w/f(w)=w/0$.

Gracias

[Visitante]

Re: Ejercicio demostración propiedad funciones lineales

De todas formas estaba pensando que quizá está mal el enunciado, o al menos se debe tener que la función no es nula, pues de serlo, no puedes dividir por ejemplo como en la demostración de b) $w/f(w)=w/0$.

Gracias

Creo que el enunciado está bien, fíjate que dije que $w \notin ker(f)$, luego no puede ser $f(w)=0$.