1r ciclo Ángulo para el alcance máximo

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Hola a todos!

Bueno, llevo poquito por la universidad y ya empiezan a apretar . La verdad es que la pregunta que voy a hacer parece de lo más trivial, pero de hecho, no lo es. El otro día hablábamos del tiro parabólico, y que el ángulo para que se produjera el alcance máximo debía ser de 45º. Ahora bien, esto sólo se cumple si se lanza el objeto desde una base horizontal, no desde una altura inicial, como es en todos los casos reales.

Por tanto, el profesor nos sugirió que pensáramos cómo afectaría esa altura inicial al ángulo con el que se produce el máximo alcance. Dijo que no entraríamos en detalle, pero a mí me picó la curiosidad y ayer me puse a hacer cálculos.

Lo que pensé fue lo siguiente: en primer lugar escribo las ecuaciones en el eje X, movimiento uniforme, y en el Y, movimiento uniformemente variado con una altura inicial.

De ahí, pensé que podría seguir un método similar al de calcular el alcance máximo cuando no hay altura inicial; es decir, poner que y es igual a cero, despejar de la ecuación el tiempo y de ahí sustituir dicho tiempo en la ecuación del movimiento en x. Fácil.

Una vez sustituido el tiempo, para calcular el ángulo máximo, se me ocurrió que se trataba en realidad de una función de ese ángulo, o sea, $x(\theta)$. De esto ya no estoy muy seguro. Entonces, para que el ángulo produjera el alcance máximo, lo que debía hacer sería:

$$\frac{\partial x(\theta) }{\partial \theta}=0$$

Y después de derivar con respecto al ángulo, igualar a cero y despejar. Parece sencillo, pero la verdad es que los cálculos se vuelven endiablados, pues ya sólo al despejar el tiempo cuando y=0:

$$y_0+v_0\sin\theta t -\dst\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow t_m=\dst\frac{v_0\sin\theta\pm\sqrt{v^2_0\sin^2\theta+2gy_0}}{g}$$

Ese tiempo, tendría que sustituirlo en x:

$$x_m=v_0\cos\theta t_m$$

Y lo que obtuviera, derivarlo respecto al ángulo e igualar a cero:

$$\frac{\partial (v_0\cos\theta t_m) }{\partial \theta }=0$$

Pero claro, arrastrar ese tiempo es horrible, y lo que sospecho es que se puede hacer algún cambio de variable o algo así, para simplificar mucho los cálculos, pero no lo veo, y en eso es en lo que os pido ayuda, a ver si a alguien se le ocurre.

Otra opción que se me ocurrió fue la de eliminar el tiempo de las ecuaciones paramétricas y sacar la ecuación de trayectoria de la parábola, o sea:

$$t=\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}\Rightarrow y=y_0+v_0\sin\theta\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}-\dst\frac{1}{2}g\left(\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2=y_0+x\tan\theta-\dst\frac{gx^2}{v_0}(1+\tan^2\theta)$$

Tras operar un poco con eso, e igualar la y a cero, se llega a:

$$\dst\frac{gx^2}{2v^2_0}\boxed{\tan^2\theta}-x\boxed{\tan\theta}+\left(\dst\frac{gx^2}{2v^2_0}-y_0\right)=0$$

He señalado las tangentes porque si os fijáis, sale una ecuación de segundo grado, de la que se podría despejar tranquilamente la tangente del ángulo, y el problema estaría resuelto. Lo que ocurre por este método, si no me he equivocado, es que al final, resulta que la tangente depende del alcance.

A ver si alguien puede dar luz al asunto, ya que creo que algo se me escapa, y ando hoy espesito o no sé qué es. Siento la parrafada

Saludos,

[polonio]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Mira aquí a ver si te da alguna idea.

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Re: Ángulo para el alcance máximo

Muchas gracias, polonio

Es verdad, resulta que hay que hacer un ''apaño'' matemático para que la expresión sea más sencilla y no tan monstruosa:

Al parecer pone que:

$$z=\dst\frac{gh}{v^2_0}$$

Y con ese cambio resulta que lo que escribí, se convierte en:

$$t_m=\dst\frac{v_0\sin\theta\pm\sqrt{v^2_0\sin^2\theta+2gy_0}}{g}=\dst\frac{v_0}{g}\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+2z}\right)$$

Creo que esa expresión ya sí que será algo más manejable. Muchas gracias de nuevo.

Saludos,

[polonio]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Si no... a usar la regla de la cadena pacientemente (o con ayuda de los ordenadores )

[pod]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Seguramente es más sencillo si lo haces al revés, usas la ecuación de x para obtener el tiempo y procedes a partir de ahí. Tienes que $t = x/ v\cos\theta$. Metiendo esto en la ecuación de "y", masajeando un poco (h es la altura inicial) sale, sino me he equivocado,

$$x^2 - 2 \frac{v^2 \sin\theta\cos\theta}{g} x + \frac{2 v^2 \cos^2\theta}{g} (y-h) = 0 .$$

Y la solución es

$$x = \frac{v^2 \sin2\theta}{2g}\left[ 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2gh}{v^2 \sin^2\theta} (y - h) } \right] .$$

Por lo tanto, el alcance es

$$\ell(\theta) = \frac{v^2 \sin2\theta}{2g}\left[ 1 + \sqrt{1 + \frac{2g h}{v^2 \sin^2\theta} } \right] .$$

Esto lo tienes que optimizar respecto de $\theta$. Seguramente te dé una ecuación trascendente.

Eso sí, repasa los cálculos porque los hice un poco rápido.

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo para el alcance máximo

En primer lugar, muchas gracias, pod.

Sí, esa es la otra forma que se me había ocurrido, quitar el tiempo de las ecuaciones paramétricas y partir de la ecuación de la parábola. Lo que ocurre, es que yo había llegado a esta expresión sustituyendo el tiempo obtenido de la ecuación en el eje x:

$$t=\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}\Rightarrow y=y_0+v_0\sin\theta\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}-\dst\frac{1}{2}g\left(\dst\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2=y_0+x\tan\theta-\dst\frac{gx^2}{v_0}(1+\tan^2\theta)$$

Y de ahí obtenía la ecuación de segundo grado para la tangente del ángulo con el que se obtiene el ángulo máximo.

Lo que ocurre, es que no veo muy bien por dónde has masajeado la ecuación para obtener:

$$x^2 - 2 \frac{v^2 \sin\theta\cos\theta}{g} x + \frac{2 v^2 \cos^2\theta}{g} (y-h) = 0 .$$

Si no te importa, ¿podrías aclarar qué procedimiento has seguido? He jugado un poco con las letras, pero no llego a nada parecido a lo tuyo

Saludos y muchas gracias,

[Al2000]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Es la misma ecuación pero pod la dividió por el coeficiente de $x^2$.

Después de darle mas vueltas que perro antes de echarse, llegué a que el ángulo para el alcance máximo es raíz de la expresión (entre muchas posibles)

$$k \, \mathrm {sen} \, 2 \theta - \cos 2 \theta \left[\, \mathrm {sen} \, 2 \theta + \sqrt {\, \mathrm {sen^2} \, 2 \theta + 2 k \left(1 + \cos 2 \theta \right)}\right] = 0$$

donde $\dst k = \frac {2 g y_0}{v_0^2}$

Saludos,

Al

[pod]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Si no te importa, ¿podrías aclarar qué procedimiento has seguido? He jugado un poco con las letras, pero no llego a nada parecido a lo tuyo

Se trata de dejar sólo el término cuadrático, dividiendo por su coeficiente. Eso siempre casi simplifica las cosas, sobre todo si hay un 2 en el término lineal,

$$x^2 + 2 b x + c = 0 \Longrightarrow x = -b \left[ 1 \pm \sqrt{1 - \frac{c}{b^2} } \right] .$$

Otra igualdad que puede ser útil es $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos \theta$.

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo para el alcance máximo

Muchas gracias a todos, trivial desde luego no era.

Saludos,