Colisión elástica entre dos partículas

[JCB]

Ahora entiendo porque, lo que parecía un ejercicio conceptualmente sencillo, se me ha convertido en una indigestión.

[Alriga]

Antes del choque:

$\vec p_0=mv_0\hat i$

$E=\dfrac 1 2 mv_0^2$

Después del choque:

$\vec p_m=m v \cos A \hat i+m v \sin A \hat j$

$\vec p_{bm}=b m v \cos B \hat i-b m v \sin B \hat j$

$E=\dfrac 1 2 m v^2+\dfrac 1 2 b m v^2$

Igualando, (conservación del momento lineal y conservación de la energía cinética)

$$v \cos A+b v \cos B=v_0$$

$$\sin A-b\sin B=0$$

$$v_0^2=(1+b)v^2$$

De (1) y (3)

$$\cos A+b\cos B=\sqrt{1+b}$$

De (2)

$\sqrt{1-\cos^2 A}=b \sin B$

$\cos A=\sqrt{1-b^2 \sin^2 B}$

Sustituyendo en (4)

$\sqrt{1-b^2 \sin^2 B}+b\cos B=\sqrt{1+b}$

$\sqrt{1-b^2 (1-\cos^2 B)}+b\cos B=\sqrt{1+b}$

$$\sqrt{1-b^2 (1-\cos^2 B)}=\sqrt{1+b}-b\cos B$$

Para operar mejor en la resolución de esta ecuación, llamo:

$\sqrt{1+b}=a$

$b=a^2-1$

$\cos B=x$

Sustituyo, elevo al cuadrado y opero:

$1-(a^2-1)^2 (1-x^2)=\big [a-(a^2-1)x \big ]^2$

$1-(a^2-1)^2+(a^2-1)^2 x^2=\big [a-(a^2-1)x \big]^2$

Desarrollando los cuadrados y operando:

$a^4x^2-2a^3x-2a^2x^2+a^2+2ax+x^2=a^4x^2-a^4-2a^2x^2+2a^2+x^2$

$a^4-2a^3x-a^2+2ax=0$

$2x(1-a^2)+a^3-a=0$

$x=\dfrac{a-a^3}{2(1-a^2)}=\dfrac{a(1-a^2)}{2(1-a^2)}=\dfrac a 2$

Deshaciendo los cambios de nombre obtenemos:

$$\cos B=\dfrac{\sqrt{1+b}}2$$

$\cos B \leq 1 \longrightarrow \boldsymbol{b \leq 3}$

Recordemos que:

$$\sin A=b\sin B$$

$$v=\dfrac{v_0}{\sqrt{1+b}}$$

Si hacemos $v_0=1$ podemos construir la siguiente tabla para valores del parámetro b>0 como dice el enunciado:

Como se puede ver, teclado ha dado con "la tecla" para resolver el problema

Saludos.

[teclado]

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Hola,
Yo, trabajando con $\cos\beta$ en vez de con $\cos\alpha$ pude despejar $b$ sin mucha dificultad. Hay que reorganizar y elevar al cuadrado dos veces para eliminar las dos raíces, pero al final queda algo bastante simple.
Saludos.

[Richard R Richard]

Hola

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lo he intentado pero no llego a un función explícita derivable para hallar el maximo directamente, pero posteo mi intento

Planteo

la conservación del momento lineal en la dirección de la velocidad inicial $v_o$

$m|v_o|=m|v|\cos\alpha +bm|v|\cos\beta$

siendo alfa y beta los ángulos de dispersión de las masas respecto de la dirección de la partícula m

la conservación del momento lineal en la dirección perpendicular a la velocidad inicial $v_o$

$0=m|v|\sin\alpha +bm|v|\sin\beta\quad \to\quad \sin\beta= \dfrac{-\sin\alpha}{b}$

por ser colisión elástica la energía cinetica se conserva luego

$\frac12mv^2_o=\frac12mv^2+\frac12mbv^2\quad \to\quad |v_o|=|v|\sqrt{1+b}$


reemplazando estos resultados en la primer ecuacion llego a

$\dfrac{1}{\sqrt{1+b}}=\sqrt{1-\sin^2\alpha}+\sqrt{b^2-\sin^2\alpha}$

o bien a

$\dfrac{1}{\sqrt{1+b}}=\cos\alpha+\sqrt{b^2-1-\cos^2\alpha}$


he llegado a una función implícita $b(\alpha)$ la cual derivar, y he leido como hacerlo implícitamente....

llegando a que

o bien $\sqrt{1+b}=0$ lo que contradice el enunciado si$b<0$ luego no es solución

o que $1-\dfrac{\cos\alpha}{b^2-\sin^2\alpha}=0$

llegando a un único valor de $b=1$

Osea el valor máximo de b que que cumple la condición es$b=1$ pero dudo que otro valor distinto de $b\pm1$ resuelva el problema

[teclado]

Hola,

Me he perdido más de un par de veces entre garabatos, pero creo que he llegado a algo:

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Llamando $\alpha$ al ángulo con el que se deflecta la partícula de masa $m$, y $\beta$ a aquél con el que lo hace la de masa $bm$; y procediendo como JCB en dos dimensiones llego a las siguientes relaciónes:

$\dst\cos\alpha = \frac{2+(2\pm 1)b \pm b^2}{2\sqrt{1+b}}$
$\dst\cos\beta = \mp\frac{1}{2}\sqrt{1+b}$

De donde,

$b = 4\cos^2\beta - 1$

El mayor valor de $b$ que cumple con las premisas es para $\beta=n\pi,\ n=0,1,2,...$, cuando vale $b=3$. Esto ocurre cuando la partícula de masa $bm$ se mueve sobre el eje X (en alguna dirección) y la otra también, pero en la dirección opuesta. Haciendo la sustitución en la expresión de $\cos\alpha$ da dos valores, -1 y 5. Como el segundo es absurdo, se tendrá que $\cos\alpha=-1$ y $\cos\beta=1$, es decir, la partícula de mayor masa viajará sobre el eje X hacia la derecha y la de menor masa hacia la izquierda.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

He planteado la conservación de la energía cinética y de la cantidad de movimiento, tanto en el choque en una dimensión, como en el choque oblicuo, sin llegar a ninguna conclusión satisfactoria. Quedo a la espera, entonces, de que se publique la solución.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

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Es un problema unidimensional o bidimensional,?
haz considerado algún ángulo en particular?
Todo me indica que b solo puede tomar un único valor.

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Bidimensional. Debe salirte que el parámetro b solo puede estar en un rango de valores acotado para que se cumplan las condiciones de enunciado: que después del choque ambas partículas tengan la misma celeridad, (el mismo módulo de la velocidad)

Saludos.

[Richard R Richard]

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Es un problema unidimensional o bidimensional,?
haz considerado algún ángulo en particular?
Todo me indica que b solo puede tomar un único valor.

[Alriga]

Una partícula de masa $\boldsymbol m$ y velocidad $\boldsymbol{v_0}$ choca con otra partícula de masa $\boldsymbol{(b\cdot m)}$ inicialmente en reposo. La colisión es perfectamente elástica y las dos partículas adquieren la misma celeridad $\boldsymbol v$ después del choque. El parámetro "b" es mayor que cero $\boldsymbol{b>0}$ y se considera que $\boldsymbol{v_0 << c}$ para poder usar la mecánica newtoniana.

a) ¿Cuál es el mayor valor posible del parámetro $\boldsymbol{b}$ que permite que se cumplan las condiciones del enunciado?

b) ¿Qué sucede cuando el parámetro $\boldsymbol{b}$ tiene su valor máximo?

Me ha parecido un ejercicio bastante bonito. Si nadie se anima, en unos cuantos días postearé la solución.

Saludos.