Aceleración variable

[Nomade]

Calcular la velocidad final de un vehículo que parte del reposo y avanza 1 metro. Considerar que el vehículo está siendo afectado por una aceleración variable de 2 m/s2 en el reposo para que se comience a mover y llega a una aceleración de 3 m/s2 cuando alcanza el metro de avance.

[delmar7]

Hola Nomade

Bienvenido al foro

Para resolver este problema se ha de suponer que el incremento de aceleración es proporcional respecto al incremento de la distancia recorrida, pero se puede asumir, ojo esta no es la única manera como puede pasar la aceleración de 2 m/s² a 3 m/s² entonces se tiene $\frac{da}{dx}=c \Rightarrow a(1)-a(0)=c \Rightarrow c=3-2=1$ con esto se halla la a por integración entre x=0 y x genérico $\frac{da}{dx}=1 \Rightarrow a(x)-a(0)=x \Rightarrow a(x)=2+x$. Luego considerando que como función del tiempo $a=x''$ donde x, también esta en función del tiempo se tiene :

$x''=2+x$ multiplicando por la velocidad $v=x'$ la cual es la primera derivada respecto al tiempo de x, se tiene :

$x'x''-xx'-2x'=0$ integrando respecto al tiempo desde t=0 hasta T tal que x=1 se tiene :

$\frac{v_1^2-v_0^2}{2}-\frac{1^2-0^2}{2}-2(1-0)=0$ Verifica las integraciones se usa el método por sustitución.

De ahí se despeja.



Saludos

[Alriga]

Hola Nomade bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Redundando en lo que bien te explica el compañero delmar7, añado algunos detalles aclaratorios:

Aunque no lo dice el enunciado, la única forma razonable de resolver el ejercicio (como te ha explicado delmar7) es suponer que la aceleración es una función lineal del desplazamiento, es decir que:

$a(x)=m\cdot x+n$

Imponiendo que se debe cumplir que $a(0)=2$ y que $a(1)=3$ obtienes los valores de $m$ y de $n$, que sustituidos nos dicen que la aceleración es:

$a(x)=x+2$

Como la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo:

$$x''=x+2$$

Es decir

$x''(t)=x(t)+2$

a) Resolución de delmar7

Multiplicando en ambos miembros de la igualdad por $x’(t) dt$ obtenemos:

$$x'(t) x''(t) dt =x(t) x'(t) dt + 2 x'(t) dt$$

Integrando y recordando que $x'(t)=v$ es la velocidad:

$\displaystyle \int x'(t) x''(t) dt=\dfrac{(x’(t))^2}2=\dfrac{v^2}2$

$\displaystyle \int x(t) x'(t) dt=\dfrac{(x(t))^2}2=\dfrac{x^2}2$

$\displaystyle \int 2 x’(t) dt= 2x(t)=2x$

Sustituyendo en (2) y aplicando la Regla de Barrow entre el punto inicial y el punto final:

$\dfrac{v_1^2-v_0^2}2= \dfrac{x_1^2-x_0^2}2 + 2 (x_1-x_0)$

En el instante inicial $t=0 \rightarrow x_0=0 \, , \, v_0=0$

Y en el instante final $t=t_1 \rightarrow x_1=1 \, , \, v=v_1$

Sustituyendo y operando puedes obtener $v_1$ que es lo que te piden


Alternativamente, (es prácticamente lo mismo, pero tal vez así lo veas mejor) también puedes resolver la ecuación diferencial (1) de segundo orden en $t$ buscando transformarla en una ecuación de primer orden en $x$ en variables separadas: recuerda este "truco" que sigue ahora porque es muy habitual y se puede usar en muchos ejercicios de cinemática.

$\boldsymbol{x''}=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac d{dt}\left ( \dfrac{dx}{dt} \right )=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt}=\boldsymbol{\dfrac{dv}{dx}\cdot v}$

La ecuación diferencial (1) queda así:

$v \, \dfrac{dv}{dx}=x+2$

Separamos variables:

$v \, dv=(x+2)dx$

Integrando

$\dfrac{v^2}2=\dfrac{x^2}2+2x+c$

Imponemos la condición inicial

$x=0 \rightarrow v=0 \rightarrow c=0$

Y la expresión de la velocidad en función del desplazamiento queda:

$v(x)=\sqrt{x^2+4x}$

Solo te queda sustituir para $x=1$

b) Resolviendo directamente la ecuación diferencial (1) para obtener la expresión temporal de la posición:

$$x''-x=2$$

Es una ecuación diferencial lineal ordinaria de coeficientes constantes de segundo orden completa.

La solución es muy sencilla y aparece en cualquier libro de ecuaciones diferenciales:

$x(t)=c_1 e^t+c_2 e^{-t} -2$

Su derivada primera:

$x'=c_1 e^t-c_2 e^{-t}=v$

Imponemos las condiciones iniciales $t=0 \rightarrow x=0 \, , \, v=0$

$0=c_1 + c_2 - 2$

$0=c_1 - c_2$

Por lo tanto $c_1=c_2=1$

La posición:

$$x(t)= e^t+e^{-t} -2$$

La velocidad:

$$v(t)=e^t-e^{-t}$$

Derivando obtenemos la aceleración:

$$a(t)=e^t+e^{-t}$$

Podemos comprobar que se cumple que $a(0)=2$ como exige el enunciado

Y ahora queremos saber para qué tiempo se cumple que $a(t_1)=3$

$3=e^{t_1}+e^{-t_1}$

Para resolver la ecuación hacemos el cambio de variable $e^{t_1}=u$ y la ecuación nos queda:

$u+\dfrac 1 u=3$

$u^2-3u+1=0$

La solución de la ecuación de 2º grado es:

$u=\dfrac{3+\sqrt{5}}2 \rightarrow t_1=\ln \dfrac{3+\sqrt{5}}2=0.9624 \, s$

Sustituyendo en la expresión de la velocidad:

$v(t)=e^t-e^{-t}$

$v_1=v(t_1)=\dfrac{3+\sqrt{5}}2-\dfrac 2{3+\sqrt{5}}=\sqrt 5=2.2361 \, m/s$

Si tienes dudas pregunta, saludos y de nuevo bienvenido.