1r ciclo Problema cinemática: esfera que rueda sobre otra esfera

[lacaderata]

He intentado resolver el problema con las ecuaciones del MCUA y también por balances de energía, cuando utilizo balances de energía, no utilizo el momento de inercia que te dan, lo que me parece raro. De otra forma, necesito la masa, la cual no te dan. Si sois tan amables de echarme una mano :')


Una canica de 2 cm de radio, se encuentra inicialmente en reposo en el punto más elevado de una superficie esférica de radio 200 cm. A continuación comienza a rodar la canica sobre la superficie de la esfera (momento de inercia de una esfera I= (2/5)mr2). a) Calcular la velocidad del centro de masa de la canica cuando se ha descrito un ángulo, respecto de la vertical, θ= 30º. b) Calcular la velocidad de la canica en el momento en el que la canica pierde el contacto con la superficie esférica.

[Al2000]

Re: Problema cinemática: esfera que rueda sobre otra esfera

El cambio en la energía cinética debe ser igual al negativo del cambio en la energía potencial:

$$\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 I \omega^2 = m g (R + r) (1 - \cos \theta )$$

con $\dst I = \frac 2 5 m r^2$ y $\omega = v/(R + r)$.

Para responder el inciso b) haz el análisis dinámico y considera que el instante de la separación la reacción normal se hace cero.

Revisa, que lo escribí sobre la marcha y sin chequearlo. Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Problema cinemática: esfera que rueda sobre otra esfera

Las ecuaciones que aplicaria son

Por la conservacion de la energia, suponiendo rodadura sobre la superficie de la esfera

$$\dfrac 12 I \omega^2+\dfrac 12 m v^2+mg(R+r)\cos\theta=mg(R+r)$$

la velocidad de rotacion de la canica obedece

$$\omega r= v$$

y en el momento de la separación la fuerza centripeta debe ser igual a la componente del peso de la cnica sobre la esfera

$$\cancel{m}\dfrac{v^2}{R+r}=\cancel{m}g\cos \theta$$

reemplazando el momento de inercia de la esfera en 1

$$\dfrac 12 \dfrac 25m r^2 \omega^2+\dfrac 12 m v^2+mg(R+r)\cos\theta=mg(R+r)$$

remplazando 2 en 1

$$\dfrac 15m v^2+\dfrac 12 m v^2+mg(R+r)\cos\theta=mg(R+r)$$

simplificando la masa

$$\dfrac 15\cancel{m} v^2+\dfrac 12 \cancel{m} v^2+\cancel{m}g(R+r)\cos\theta=\cancel{m}g(R+r)$$

$$\dfrac 15\ v^2+\dfrac 12 v^2+g(R+r)\cos\theta=g(R+r)$$

reemplazando el valor de $\cos\theta$ de 3 en 6

$$\dfrac 15\ v^2+\dfrac 12 v^2+v^2=g(R+r)$$

luego

$$\boxed{v=\sqrt{\dfrac{10g(R+r)}{17}}}$$

todas las canicas se desprenden con un angulo tal que $\cos \theta =\dfrac {10}{17}\mapsto \theta =53.9\°$

[Alriga]

Re: Problema cinemática: esfera que rueda sobre otra esfera

Hola lacaderata, bienvenido a La web de Física, por favor como nuevo miembro echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El cambio en la energía cinética debe ser igual al negativo del cambio en la energía potencial:

$$\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 I \omega^2 = m g (R + r) (1 - \cos \theta )$$

con $\dst I = \frac 2 5 m r^2$ y $\omega = v/(R + r)$

Aquí creo que hay un pequeño gazapo, entiendo que debe ser $\omega = \dfrac v r$ como dice Richard en #3

Si no me equivoco al sustituir y despejar, el resultado del apartado a) es

$v=\sqrt{\dfrac{10}7 \ g \ (R+r) \ (1-\cos \theta)}=\sqrt{\dfrac{10}7 \cdot 9.81 \cdot (2+0.002) \cdot \Big (1-\cos \dfrac{\pi}6 \Big )}=1.94 \ m/s$

El apartado b) lo ha resuelto Richard en #3

Solo añadir que si para repasar conceptos te interesa consultar un ejercicio similar a éste algo más sencillo, (en el que la partícula que se desliza es puntual en vez de esférica), puedes revisar este hilo: http://forum.lawebdefisica.com/threa...813#post156813

Saludos.