Intuición del Langrangiano

[Alriga]

...uno piensa que en la fórmula para ese principio, si trata de minimizar el total de la energía cinética y potencial, ése total debería ser la suma de las dos...

Es que el "Principio de acción estacionaria" o "Principio de acción extremal" o "Principio de Hamilton" abreviado a "principio de mínima acción" no dice en absoluto que la energía total calculada como suma de la energía potencial más la energía cinética deba ser mínima.

El principio dice que lo que debe ser mínima es la acción. Y la acción no se puede calcular a partir de la suma de la energía cinética más la energía potencial. La expresión de la acción es:

$\dst S(r)=\int_{t_1}^{t_2} L(r, \ \dot r, \ t) \ dt$

En donde $L(r, \ \dot r, \ t)$ es una función llamada Lagrangiano que se calcula como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial.

Repito: sumar la energía cinética con la potencial no sirve para calcular la acción y por lo tanto no sirve para poder aplicar el principio de mínima acción.

De esto hablamos en el hilo Intuición del Langrangiano

Saludos.

[Pola]

Pues muchas gracias a los dos.

Para los que no sabemos, es un poco frustratante. Porque miras en wikypedia y te define la acción como el producto de la energía implicada en un proceso por el tiempo que dura. Si "ep proceso es una piedra miviédose por el aire, uno supone que esa energía es la suma de la energía cinética + la energía potencial.

Claro que es como vosotros decís, pero me parece contratintuitivo y me cuesta entender el por qué.

Gracias de nuevo y un saludo

[agaminon]

Eso es porque el producto de las dimensiones de energía por tiempo también se conoce como acción. Ahora bien, el momento angular también tiene dimensiones de acción y nadie lo llama así. Por tanto, estoy de acuerdo con que el término "acción" se reserve para la integral del lagrangiano.

[Alriga]

...me parece contraintuitivo y me cuesta entender el por qué...

Es que la intuición no pinta nada aquí, solo cuentan la Física y las Matemáticas. Voy a hacer otro intento de explicarte "el porqué".

Partimos de que la segunda ley de Newton para un conjunto de partículas nos permite escribir:

$m_i\dfrac{d^2\boldsymbol r_i}{dt^2}=\boldsymbol F_i$

O lo que es lo mismo, con la otra nomenclatura en la que las derivadas temporales se escriben como puntos sobre la función

$m_i \ddot{\boldsymbol r}_i=\boldsymbol F_i$

Son las ecuaciones diferenciales que resolvemos para conocer el movimiento de las partículas. Aplicando a la 2ª ley de Newton adecuadas manipulaciones matemáticas y usando las definiciones habituales de energía cinética $T$ y de energía potencial $V$ podemos transformarla en ecuaciones completamente equivalentes que son:

$$\dfrac d{dt}\left (\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right ) - \dfrac{\partial T}{\partial q_j}+\dfrac{\partial V}{\partial q_j} =0$$

Podríamos pararnos aquí: las ecuaciones del movimiento se obtienen haciendo estas operaciones sobre la energía potencial y la energía cinética, y ya está. Pero está claro que, si quiero, puedo continuar haciendo la siguiente manipulación algebraica:

$$\dfrac d{dt}\left (\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right ) - \dfrac{\partial (T-V)}{\partial q_j} =0$$

Observa que ha de ser necesariamente diferencia de energías $T-V$ ya que si intento encajar ahí $T+V$ no puedo conseguir que se cumpla la ecuación.

A la función T-V se le da el nombre de Lagrangiano

$$L=T-V$$

$L=T-V \quad \rightarrow \quad T=L+V$

El primer sumando de la ecuación lo puedo transformar en:

$\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}=\dfrac{\partial (L+V)}{\partial \dot q_j}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_j}+\dfrac{\partial V}{\partial \dot q_j}$

La energía potencial solo depende de las posiciones $q_j$ pero no de las velocidades $\dot q_j$ por lo tanto:

$\dfrac{\partial V}{\partial \dot q_j}=0$

Y obtenemos:

$$\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_j}$$

Introduciendo (2) y (3) en (1) obtenemos:

$$\boxed{\dfrac d{dt}\left (\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right ) - \dfrac{\partial L}{\partial q_j} =0}$$

La secuencia completa de pasos algebraicos la puedes encontrar en LAGRANGE EQUATIONS AND D’ALEMBERT’S PRINCIPLE

Saludos.

[agaminon]

Por completitud, podemos hacer lo mismo que ha hecho Alriga pero comenzando desde el principio de Hamilton y exigiendo $\delta S = 0$. Tener en cuenta que $\delta t = 0$ pues estamos variando las trayectorias únicamente.

$\delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \delta L(q_i, \dot{q}_i, t) = \int_{t_i}^{t_f} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right)$.

Notar:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i\right) = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right)\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i$.

Por tanto:

$\int_{t_i}^{t_f} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right)\right) \delta q_i +\int_{t_i}^{t_f} dt \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i\right) =0$

La integral de la derecha es cero ya que la variación $\delta q$ en los puntos inicial y final es nula (son puntos fijos, que definen la trayectoria). Entonces, claramente hemos de exigir que la expresión del interior de la integral sea cero. Surgen las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right)=0$

[Pola]

Pues os agradezco mucho vuestras explicaciones y vuestro tiempo.

Gracias de nuevo.

Y un saludo

[Fortuna]

Buenas tardes. Por si sirve de ayuda, Veritasium ha realizado un vídeo sobre como Euler llegó a la deducción que usa el Lagragiano.

Parte del principio de postulado por Maupertius, que extendía el principio de tiempo mínimo de trayecto para explicar la ley de refracción de luz dada por la explicación de Fermat. La extendió a algo denominó acción:

$S=\sum m\cdot v\cdot s$

Maopertius indicó que esa cantidad debería ser mínima para la trayectoria definitiva, y por tanto su variación infinitesimal respecto a cualquier otra debería ser 0, tal y como como se hizo para demostrar la ley de refracción, pero ahora para la mecánica.

$\delta S=\delta \sum m\cdot v\cdot s$=0

Euler sustituyó la sumatoria por una integral

$\delta S=\delta \int m\cdot v\cdot ds$=0

Pero $ds=v\cdot dt$,

$\delta S=\delta \int m\cdot v^2\cdot dt=0$

Ahora Euler ve que el integrando es el doble de la energía potencial

$\delta S=\delta \int (T+T)dt=0$

Como $E=T+V\to T=E-V$

$\delta S=\delta \int (T+E-V)dt=\delta \int (T-V)dt+\delta \int Edt=0$

Integramos el segundo sumando

$\delta \int Edt=\delta (Et)=t \cdot \delta E + E \delta t$

El primer sumando se anula ya que la energía debe ser la misma para todas las trayectorias infinitesimalmente cercanas a la verdadera. Luego su variación debe ser nula.

Sustituyendo el resultado en la ecuación de la acción llegamos a

$\delta S=\delta \int (T+E-V)dt=0 \to \delta \int (T-V)dt=-E \delta t$

Aquí de nuevo se aplica el principio de que la trayectoria será aquella en que el tiempo de recorrido sea mínimo, como se hizo para la luz ( pero estamos en mecánica! no en óptica!) es decir aquella en la que su variación infinitesimal por trayectorias diferentes sería 0.

$\delta S=\delta \int (T-V)dt=0$

De las que se deducen el las ecuaciones de Euler Langrange por métodos variacionales.

Esta no es la forma habitual de de llegar a ellas, es la forma histórica, que más tarde Lagrange propuso y más tarde Hamilton lo elevó a principio fundamental