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Mecanica lagrangiana

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  • 1r ciclo Mecanica lagrangiana

    Buenas, me podéis ayudar con los apartados d y e de este problema y comprobar si los otros 3, son como yo creo.

    Una masa m esta suspendida del techo mediante un muelle de constante elástica k y de longitud en su posición de equilibrio . Suponiendo que la masa sólo puede moverse en el plano vertical, se pide:

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Nombre:	Screenshot_20190206_114512.jpg
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ID:	315191
    a) Determinar los grados de libertad y la energía cinética.

    Al tratarse de una sola masa tendría tres grados de libertad pero al tener una ligadura , los grados de libertad sería dos.
    La energia cinética en coordenadas polares seria : )

    b) Determinar el potencial al que está sometida la masa y el lagrangiano del sistema

    El potencial tendríamos tanto el gravitacional como el elástico y quedaría
    De esa forma el lagrangiano se quedaría como:


    c) Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema.

    la ecuaciones de movimiento para r será:


    la ecuación de movimiento para será:



    A partir de aqui, ya me pierdo, porque no sabría como simplicifcar o sacar la solución y tanto el apartado d como e no sabría realizarlo, si alguien fuera tan amable de explicarmelo, gracias.

    d) ¿ Existe alguna solución en la que sea constante? En caso afirmativo encontrar la solucion general r = r (t) de las ecuaciones de movimiento con , siendo dicha constante.

    e) Sobre este muelle se hace actuar una fuerza horizontal F constante. determinar la posición de equilibrio del sistema.

  • #2
    Re: Mecanica lagrangiana

    Escrito por jssln Ver mensaje
    la ecuación de movimiento para será:




    d) ¿ Existe alguna solución en la que sea constante? En caso afirmativo encontrar la solucion general r = r (t) de las ecuaciones de movimiento con , siendo dicha constante.
    Si theta es constante su derivada respecto del tiempo es nula, reemplaza en la ecuación que cite y veras que existe una solución para theta =0, es un MAS en el eje vertical




    Escrito por jssln Ver mensaje
    e) Sobre este muelle se hace actuar una fuerza horizontal F constante. determinar la posición de equilibrio del sistema.
    En e el problema se aborda de la misma manera que en a pero ahora la fuerza que actúa sobre la masa no es solo el peso, sino na composición vectorial del peso y la fuerza F



    Si originalmente el equilibrio estático estaba en
    Ahora el radio equilibrio esta en

    Con un angulo
    Última edición por Richard R Richard; 06/02/2019, 17:15:04.

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    • #3
      Re: Mecanica lagrangiana

      Muchas gracias, pero la solución que plantea el ejercicio para el apartado d, no es solamente un MAS en el eje vertical, sino:

      y no termino de encontrar una solución que me de eso, o al menos no la veo.

      Comentario


      • #4
        Re: Mecanica lagrangiana

        Es que esa precisamente es la ecuación de un MAS.
        es la longitud del resorte sin solicitación u original
        es lo que se estira el resorte por colocarle una masa de valor m al resorte en estado de equilibrio estático

        entonces es la posición de equilibrio estatico


        y son dos constantes que se obtienen de aplicar las condiciones de contorno a las ecuaciones diferenciales por lo general una de las dos es cero siendo la otra la amplitud del movimiento oscilatorio

        si al iniciar el movimiento estaba en

        entonces y
        Última edición por Richard R Richard; 08/02/2019, 22:16:11.

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        • #5
          Escrito por jssln Ver mensaje
          Re: Mecanica lagrangiana

          Muchas gracias, pero la solución que plantea el ejercicio para el apartado d, no es solamente un MAS en el eje vertical, sino:

          y no termino de encontrar una solución que me de eso, o al menos no la veo.
          Hola jssin
          (No me resisto a no intentarlo...)
          Que no encuentres la solución puede ser porque no tienes del todo bien la ecuación de movimiento de la variable . (Hay algún error o, simplemente errata, en la otra ecuación, pero no afectarían a la solución de esta)
          La ecuación de movimiento de la variable r sería:

          La ecuación de movimiento de la variable sería:

          O simplificando por división entre :

          Y ahora lo que te dice Richard R Richard en el mensaje 2:
          implica y
          Llevando esto a la ecuación anterior (ecuación de movimiento de la variable resulta
          Y llevando esto a la ecuación del movimiento de :

          Haciendo el siguiente cambio de variable se tiene la siguiente ecuación diferencial:
          que conduce, al integrarla, a las solución que pones tú.
          "... quien corrige enseña; quien se corrige aprende"

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