1r ciclo Mecanica lagrangiana

[jssln]

Buenas, me podéis ayudar con los apartados d y e de este problema y comprobar si los otros 3, son como yo creo.

Una masa m esta suspendida del techo mediante un muelle de constante elástica k y de longitud en su posición de equilibrio ${l}_{ 0}$. Suponiendo que la masa sólo puede moverse en el plano vertical, se pide:


a) Determinar los grados de libertad y la energía cinética.

Al tratarse de una sola masa tendría tres grados de libertad pero al tener una ligadura , los grados de libertad sería dos.
La energia cinética en coordenadas polares seria : $T = \frac{1}{ 2} m (\dot{r} + {r}^{ 2}\dot{{\theta}^{2 }}$)

b) Determinar el potencial al que está sometida la masa y el lagrangiano del sistema

El potencial tendríamos tanto el gravitacional como el elástico y quedaría $V = - m g r \cos \theta + \frac{1}{ 2} k {(r - {l}_{ 0})}^{ 2}$
De esa forma el lagrangiano se quedaría como:
$L =\frac{1}{ 2} m (\dot\dot {r} + {r}^{ 2}\dot{{\theta}^{2 }}) + m g r \cos \theta - \frac{1}{ 2} k {( r - {l}_{0 })}^{2 }$

c) Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema.

la ecuaciones de movimiento para r será:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } ( \frac{\partial L }{\partial\dot{r} }) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0$
$m \dot\dot{r} - m r {\dot\theta}^{2 } + mg \cos\theta - \frac{1}{ 2} k ( r - {l}_{0 } ) = 0$
la ecuación de movimiento para $\theta$ será:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } ( \frac{\partial L }{\partial\dot{\theta} }) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$
$2m \dot {r} \dot {\theta} + m{r}^{2 } \dot\dot \theta + mg\sin\theta = 0$

A partir de aqui, ya me pierdo, porque no sabría como simplicifcar o sacar la solución y tanto el apartado d como e no sabría realizarlo, si alguien fuera tan amable de explicarmelo, gracias.

d) ¿ Existe alguna solución en la que $\theta$ sea constante? En caso afirmativo encontrar la solucion general r = r (t) de las ecuaciones de movimiento con $\theta = {\theta}_{0 }$, siendo ${\theta}_{0 }$ dicha constante.

e) Sobre este muelle se hace actuar una fuerza horizontal F constante. determinar la posición de equilibrio del sistema.

[Richard R Richard]

Re: Mecanica lagrangiana

la ecuación de movimiento para $\theta$ será:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } ( \frac{\partial L }{\partial\dot{\theta} }) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$
$2m \dot {r} \dot {\theta} + m{r}^{2 } \dot\dot \theta + mg\sin\theta = 0$


d) ¿ Existe alguna solución en la que $\theta$ sea constante? En caso afirmativo encontrar la solucion general r = r (t) de las ecuaciones de movimiento con $\theta = {\theta}_{0 }$, siendo ${\theta}_{0 }$ dicha constante.

Si theta es constante su derivada respecto del tiempo es nula, reemplaza en la ecuación que cite y veras que existe una solución para theta =0, es un MAS en el eje vertical

e) Sobre este muelle se hace actuar una fuerza horizontal F constante. determinar la posición de equilibrio del sistema.

En e el problema se aborda de la misma manera que en a pero ahora la fuerza que actúa sobre la masa no es solo el peso, sino na composición vectorial del peso y la fuerza F



Si originalmente el equilibrio estático estaba en $k(r-R_{eq})-mg=0$
Ahora el radio equilibrio esta en
$k(r-R_{eq2})-m\sqrt{g^2+\left(\dfrac Fm\right)^2}=0$
Con un angulo[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[jssln]

Re: Mecanica lagrangiana

Muchas gracias, pero la solución que plantea el ejercicio para el apartado d, no es solamente un MAS en el eje vertical, sino:

$r = {l}_{0} + \frac{mg}{k } + A\cos\sqrt{\frac{k}{m }t} + B\sin\sqrt{\frac{k}{m }t}$ y no termino de encontrar una solución que me de eso, o al menos no la veo.

[Richard R Richard]

Re: Mecanica lagrangiana

Es que esa precisamente es la ecuación de un MAS.
$l_0$ es la longitud del resorte sin solicitación u original
$\dfrac{mg}{k}$ es lo que se estira el resorte por colocarle una masa de valor m al resorte en estado de equilibrio estático

entonces $r_eq = {l}_{0} + \frac{mg}{k } <br />$ es la posición de equilibrio estatico


$A$ y $B$ son dos constantes que se obtienen de aplicar las condiciones de contorno a las ecuaciones diferenciales por lo general una de las dos es cero siendo la otra la amplitud del movimiento oscilatorio

si al iniciar el movimiento estaba en $r_o =\Delta X + r_eq$

entonces $B=0$ y $A=\Delta X$

[oscarmuinhos]

Re: Mecanica lagrangiana

Muchas gracias, pero la solución que plantea el ejercicio para el apartado d, no es solamente un MAS en el eje vertical, sino:

$r = {l}_{0} + \frac{mg}{k } + A\cos\sqrt{\frac{k}{m }t} + B\sin\sqrt{\frac{k}{m }t}$ y no termino de encontrar una solución que me de eso, o al menos no la veo.

Hola jssin
(No me resisto a no intentarlo...)
Que no encuentres la solución puede ser porque no tienes del todo bien la ecuación de movimiento de la variable $r$. (Hay algún error o, simplemente errata, en la otra ecuación, pero no afectarían a la solución de esta)

La ecuación de movimiento de la variable r sería:

$m\ddot{r} - mr\ddot{\theta} - mgcos\theta + k \left(r -{L}_{0} \right) = 0$

La ecuación de movimiento de la variable $\theta$ sería:

$2mr\dot {r}\dot{\theta}+ mr^2\ddot{\theta} + mgrsin {\theta}= 0$

O simplificando por división entre $mr$ :

$2\dot {r}\dot{\theta}+ r\ddot{\theta} + gsin{\theta}= 0$$\space\space$ $\space\space (2)$

Y ahora lo que te dice Richard R Richard en el mensaje 2:

$\theta = cte$ implica $\dot{\theta} = 0$ $\space$ y $\space\space \ddot{\theta}= 0$

Llevando esto a la ecuación anterior (ecuación de movimiento de la variable$\space$$\space\theta$ resulta $\space \theta = 0$
Y llevando esto a la ecuación del movimiento de $r$:

$m\ddot{r} + k\left(r-L_0\right)-mg=0$

Haciendo el siguiente cambio de variable $u = k\left(r-L_0\right)-mg$ se tiene la siguiente ecuación diferencial:

$\frac{d^2u}{dt^2} +\frac{k}{m} u =0$ que conduce, al integrarla, a las solución que pones tú.