Secundaria Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

[cenavast]

En primer lugar, voy a transcribirles un problema que apareció en la olimpiada de física de 2009, fase local navarra. Ahí va:
"Un proyectil se lanza desde un punto P. Su movimiento es tal que su distancia respecto a P siempre aumenta. Determine el ángulo máximo arriba de la horizontal con que pudo haberse lanzado. Haga caso omiso de la resistencia del aire."
El caso es que el problemita en cuestión se las trae. Solo la interpretación del enunciado ya tiene su aquel... La idea es tirar un proyectil desde un punto P de manera que cuando éste vuelva al suelo por acción de la gravedad se haya alejado lo máximo posible, y la pregunta es el ángulo que debemos poner para que esto suceda (que lógicamente nos saldrá respecto de la velocidad con la que lancemos el proyectil).
Nosotros hemos llegado a estas conclusiones:
La distancia de P a un punto de su trayectoria es (x^2+y^2)^0.5, donde "x" e "y" son simplemente las proyecciones (x=v·cosA·t, y=v·senA·t - 0.5·g·t^2)
Tras esto se nos ocurrió derivar e igualar a 0, pero queda una formula muy "dependiente" de v y t, y que el ángulo dependa del tiempo es raro. El último intento fue poner t respecto de v, calculando el tiempo que tardará el proyectil en volver a chocar contra el suelo:
0=t(v·senA-0.5gt) -> 1) t=0, el momento inicial.
2) t = v·senA/(0.5g)
Y sustituir este t, que está respecto de v y de A, en la derivada, que está igualada a cero, para finalmente obtener el ángulo A simplemente respecto de v, que sería el resultado final (para diferentes valores de v, el ángulo A cambia, lo cual tiene sentido).
Sin embargo, algo en nuestra intuición nos decía que no podía ser así. Quizá sea así, quizá no, así que lanzo la pregunta: ¿alguien podría aclarar si este método está bien, o en caso contrario aportar una solución correcta? También son bienvenidos métodos alternativos al expuesto, en caso de que éste esté bien.
Gracias, saludos y perdón por el ladrillazo.

[Ulises7]

Re: Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

En primer lugar, voy a transcribirles un problema que apareció en la olimpiada de física de 2009, fase local navarra. Ahí va:
"Un proyectil se lanza desde un punto P. Su movimiento es tal que su distancia respecto a P siempre aumenta. Determine el ángulo máximo arriba de la horizontal con que pudo haberse lanzado. Haga caso omiso de la resistencia del aire."
El caso es que el problemita en cuestión se las trae. Solo la interpretación del enunciado ya tiene su aquel... La idea es tirar un proyectil desde un punto P de manera que cuando éste vuelva al suelo por acción de la gravedad se haya alejado lo máximo posible, y la pregunta es el ángulo que debemos poner para que esto suceda (que lógicamente nos saldrá respecto de la velocidad con la que lancemos el proyectil).
Nosotros hemos llegado a estas conclusiones:
La distancia de P a un punto de su trayectoria es (x^2+y^2)^0.5, donde "x" e "y" son simplemente las proyecciones (x=v·cosA·t, y=v·senA·t - 0.5·g·t^2)
Tras esto se nos ocurrió derivar e igualar a 0, pero queda una formula muy "dependiente" de v y t, y que el ángulo dependa del tiempo es raro. El último intento fue poner t respecto de v, calculando el tiempo que tardará el proyectil en volver a chocar contra el suelo:
0=t(v·senA-0.5gt) -> 1) t=0, el momento inicial.
2) t = v·senA/(0.5g)
Y sustituir este t, que está respecto de v y de A, en la derivada, que está igualada a cero, para finalmente obtener el ángulo A simplemente respecto de v, que sería el resultado final (para diferentes valores de v, el ángulo A cambia, lo cual tiene sentido).
Sin embargo, algo en nuestra intuición nos decía que no podía ser así. Quizá sea así, quizá no, así que lanzo la pregunta: ¿alguien podría aclarar si este método está bien, o en caso contrario aportar una solución correcta? También son bienvenidos métodos alternativos al expuesto, en caso de que éste esté bien.
Gracias, saludos y perdón por el ladrillazo.

¿Qué también te presentas para las olimpiadas?

Bueno respecto al problema no estan díficil, aunque a decir verdad el enunciado es algo espeso, sólo hay que ver de forma clara una relación trigonométrica después de desarrollar, experimentalmente hace siglos que se conoce que el alcance máximo en el lanzamiento de los proyectiles era de 45º respecto a la horizontal, pero no se sabía por qué hasta que llego Galileo Gaileli y lo demostró matemáticamente. El problema viene a ser:

Tenemos en el eje x un MRU y en el y el de caida libre, con sus consecuentes ecuaciones, nos centraremos en el eje x ya que queremos el alcance máximo y éste es:

$$\Delta x_{max} = v_x t_{aire} = v_0 \cos \alpha t_{aire}$$

Sólo hemos aplicado la ecuación de la posición del MRU y lo hemos dejado en función de la velocidad inicial de lanzamiento, ahora nos interesa conocer el tiempo que tarda el proyectil hasta llegar al suelo, ahora nos centramos en el eje y, sabemos que como los tiros parabólicos son simétricos conocemos la relación que el tiempo que tarda el proyectil en caer es el doble que el tiempo que lemplea para llegar a la altura máxima:

$t_{aire} = 2t_h$

Ahora bien, podemos conocer el tiempo que emplea el proyectil para alcanzar la altura máxima:

$v_y = v_0y - gt_h \rightarrow 0 = v_0y - gt \rightarrow t_h = \dfrac{v_0y}{g}$

$$t_h = \dfrac{v_0 \sin \alpha}{g}$$

Por tanto:

$\Delta_{max} = 2v_0 \cos \alpha t_h = \dfrac{2v_0 \cos \alpha v_0 \sin \alpha}{g} = \dfrac{2v^2_0 \cos \alpha \sin \alpha}{g} = \dfrac{v^2_0 \sin 2\alpha}{g}$

Como podemos observar el valor máximo lo obtenemos con $\alpha = 45\º$.


saludos

[Tarkus]

Re: Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

Con 45 grados exactamente, es el valor en el cual un tiro oblicuo alcanza su mayor distancia, con una velocidad inicial determinada.

$$X =\frac {2 Vo^2\cos\theta\sin\theta}{g}$$

$$X = \frac {Vo^2\sin2\theta}{g}$$

Para sacar el valor máximo, a esta función la derivás y allás el máximo absoluto.

$${X'} = \frac {Vo^2}{g} 2\cos2\theta$$

Si hacés cos(2.45º)... La función habrá alcanzado un máximo, por lo tanto, la máxima distancia posible se alcanza a los 45º.

[cenavast]

Re: Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

Muchas gracias a ambos
¡Saludos!

[Al2000]

Re: Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

Problema muy interesante... Me tuvo ocupado un rato, básicamente haciendo el álgebra necesaria. La solución del problema es como fue indicado en el post original, yo solo llevé la idea a sus últimas consecuencias.

Está claro en el enunciado que la condición es que el proyectil siempre se aleje del punto de disparo. Debe notarse que no se trata de conseguir un máximo alcance, sino de que el proyectil siempre se aleje. Para ángulos de disparo muy grandes, el proyectil se acercará al origen en su trayectoria de descenso. En el caso extremo que se dispare a 90°, el proyectil ¡regresa al origen!

Bien, les pego a continuación la solución. Se puede resumir el resultado en que el proyectil se debe disparar en un ángulo no mayor de 70°31'43.6''



Saludos,

AA

[Ulises7]

Re: Proyectiles, ángulos y distancias [Olimpiada de Física]

Problema muy interesante... Me tuvo ocupado un rato, básicamente haciendo el álgebra necesaria. La solución del problema es como fue indicado en el post original, yo solo llevé la idea a sus últimas consecuencias.

Está claro en el enunciado que la condición es que el proyectil siempre se aleje del punto de disparo. Debe notarse que no se trata de conseguir un máximo alcance, sino de que el proyectil siempre se aleje. Para ángulos de disparo muy grandes, el proyectil se acercará al origen en su trayectoria de descenso. En el caso extremo que se dispare a 90°, el proyectil ¡regresa al origen!

Bien, les pego a continuación la solución. Se puede resumir el resultado en que el proyectil se debe disparar en un ángulo no mayor de 70°31'43.6''

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Saludos,

AA

Es verdad, pregunta el ángulo máximo, a partir de ahora tendré que leer bien y con cuidado los enunciados sin dar nada por supuesto