Secundaria vectores reciprocos

[sagitario27]

Hola,

me gustaría saber cómo realizar esta demostración:

Demostrar que un vector cualquiera $\vec V$ puede ser representado en cualquiera de las formas

$$\vec V=(\vec V\cdot \vec a^1)\vec a_1 +(\vec V\cdot \vec a^2)\vec a_2 + (\vec V\cdot \vec a^3)\vec a_3 = \dst\sum_{i}(\vec V\cdot \vec a^i)\vec a_i$$

$$\vec V=(\vec V\cdot \vec a_1)\vec a^1 +(\vec V\cdot \vec a_2)\vec a^2 + (\vec V\cdot \vec a_3)\vec a^3 = \dst \sum_{i}(\vec V\cdot \vec a_i)\vec a^i$$

[FONT=Tahoma]Donde los vectores $\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3$ son tres vectores no coplanares y los vectores $\vec a^1, \vec a^2, \vec a^3$ son los vectores recíprocos dados por:[/FONT]

$\vec a^1= \dst \frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}, \vec a^2= \dst \frac{\vec a_3 \times \vec a_1}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}, \vec a^3= \dst \frac{\vec a_1 \times \vec a_2}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}$

[FONT=Tahoma]Intenté demostrando que el producto punto de la expresión 1 y 2(con sigo mismas e intercaladas) debe ser igual a $V^2$. Pero no he podido hacerlo (debe ser que se me ha olvidado algo... jeje). Me gustaría también una demostración mas completa si hay alguna.[/FONT]

[FONT=Calibri]Agradezco de antemano sus indicaciones.[/FONT]
[FONT=Calibri]Saludos.[/FONT]

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

Hola espero que no se hayan olvidado de mi consulta....

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

Se olvidaron de ella definitivamente

[carmelo]

Re: vectores reciprocos

Hola:

Para ser graduado en Física sos algo impaciente. Si hay algo a lo que nos enseñan las ciencias es a tener un poco de paciencia, y cuando no se tiene esta suplirla con perseverancia e iniciativa.

Llendo al problema, realiza los productos punto de $\vec{a}^i\cdot} \vec{a}_i$ obtendras que son igual a 1. Dicho esto estoy asumiendo que hay un error en la expresión para $\vec{a^i}$ cuando $i=2,3$; por favor revisalas.


Saludos
Carmelo

[H2SO4]

Re: vectores reciprocos

Hola:

Para ser graduado en Física sos algo impaciente. Si hay algo a lo que nos enseñan las ciencias es a tener un poco de paciencia, y cuando no se tiene esta suplirla con perseverancia e iniciativa.

¿Impaciente? Yo diría que es el Santo Job. Fíjate en la fecha en la que abrió el hilo: lleva más de un año esperando.

Saludos

[carmelo]

Re: vectores reciprocos

Hola:

Tenes razón. Hace bastante. Recién los vi hoy todos juntos. Igual, para ser graduado en física podría haber encontrado la solución por su propia iniciativa.

Saludos
Carmelo

[polonio]

Re: vectores reciprocos

Pues eso pasa por ser insistente... que la gente se harta de que les exijan y pueden tardar un año en responder. Así que la paciencia es vuestra

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

JAJAJA... GRACIAS
Att: LA REENCARNACIÓN DE JOB ...

respecto al problema la solución que tengo no me satisface es un circulo vicioso donde partiendo de las definiciones llego a lo mismo (se que en matemática hay este tipo de soluciones) y la verdad no me gusta, pensé que alguien tendría una mejor, pero nadie me ha escrito desde hace bastante como lo pueden notar...

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

No la verdad no hay errores en mi enunciado. La condición a la que haces referencia es cierta y es obvio que se debe tener en cuenta.

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

Pues eso pasa por ser insistente... que la gente se harta de que les exijan y pueden tardar un año en responder. Así que la paciencia es vuestra

no te entiendo polonio podrías ser mas claro .... si te estoy entendiendo mal perdóname, pero creo que en este foro no se exige a nadie a que lea tus mensajes
y se supone que aportas soluciones a tus compañeros para que otros u ellos mismos te proporcionen también soluciones a tus propias dudas.

[sagitario27]

Re: vectores reciprocos

Hola:

Para ser graduado en Física sos algo impaciente. Si hay algo a lo que nos enseñan las ciencias es a tener un poco de paciencia, y cuando no se tiene esta suplirla con perseverancia e iniciativa.

Llendo al problema, realiza los productos punto de $\vec{a}^i\cdot} \vec{a}_i$ obtendras que son igual a 1. Dicho esto estoy asumiendo que hay un error en la expresión para $\vec{a^i}$ cuando $i=2,3$; por favor revisalas.


Saludos
Carmelo

No la verdad no hay errores en mi enunciado. La condición a la que haces referencia es cierta y es obvio que se debe tener en cuenta.

[_L_]

Re: vectores reciprocos

no se digo yo que sustituyendo cosa que ya habras hecho tiene que salir. Prueba a suponer que son ortogonales a ver si sale mas facil, o incluso ortonormales de manera que los productos escalares sean o 1 o 0, si se cumple para todos tambien para los ortogonales, ahi tienes un comienzo, no tengo ni idea lo siento si estoy diciendo una burrada

$\vec a^1= \dst \frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}, \vec a^2= \dst \frac{\vec a_3 \times \vec a_1}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}, \vec a^3= \dst \frac{\vec a_1 \times \vec a_2}{\vec a_1 \cdot \vec a_2 \times \vec a_3}$

Mira si supones a $\dst a_1 , a_2, a_3$ base ortonormal pasa lo siguiente , supongo que es $\dst R^3$ y el producto vectorial de $\dst a_2 y a_3$ es perpendicular a ambos luego paralelo a $\dst a_1$ y por ser ortonormal la base tiene modulo 1, arriba me queda el mismo vector de modulo 1 si tiene sentido opuesto a $\dst a^1$ entonces el producto escalar de abajo queda -1 luego te da siempre $\dst a^1=a_1$

Miremos ahora $\dst a^2$ el numerador tiene misma direccion y modulo que $\dst a_2$ y el denominador te tiene que salir lo mismo al anterior, y si dibujas una base ortonormal veras que si $\dst a_2\times a_3$ tiene la direccion de $\dst a_1$ eso implicara que $\dst a_3\times a_1$ tenga la direccion de $\dst a_2$ seguro ocurre lo mismo para para $\dst a_3$
te queda la tribialidad de $\dst ai=a_i$ siempre que sea $\dst a_i$ base ortonormal,

ahora trata de amplicarlo a base ortogonal se ve a simple vista que se cumple para bases no ortonormales pero si ortogonales con modulos iguales. Y si no puedes avanzar tratare de mirarlo un poco mas a ver si esto te da pie a comenzar.

No se mucho de algebra lo justo pero vamos creo que podria seguir avanzando echando mano de teoremas. Parece que en R^3 se va a cumplir pero desconozco si en R^4 el producto vectorial me garantiza que sea perpendicular y si lo es que sea el vector perpendicular que yo busco, en R^3 nos da el vector director del hiperplano creado pero en R^4 el hiperplano es de 3 dimensiones no de 2 luego deberia ser un producto vectorial de 3 vectores para hayar uno solo con certeza conociendo su direccion.

Repito que no tengo ni idea de algebra solo es una idea...

Supongo que profundizando podras demostrarlo para todo "a"

Dime si te ayudo o tienes dudas

[carmelo]

Re: vectores reciprocos

Hola:

Lo mas sencillo es que tengas en cuenta la siguiente propiedad para el producto mixto:

$$\vec{a_1}\cdot\left(\vec{a_2}\times\vec{a_3}\right)=\vec{a_2}\cdot\left(\vec{a_3}\times\vec{a_1}\right)=\vec{a_3}\cdot\left(\vec{a_1}\times\vec{a_2}\right)$$

Saludos
Carmelo