Otras carreras Momento de inercia de un cilindro

[student]

Tenemos un cilindro de masa M, radio R y altura H.
Es posible que el momento de inercia sea mayor que MR2?

[nico_palermo]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Hola, el momento de inercia depende del eje de rotación que tomes, por ejemplo para un cilindro macizo que rota por un eje central z el momento de inercia es

$\displaystyle\frac{1}{2}.M.R^2$

$M.R^2$ es para un cilindro hueco (un tubo por ejemplo)

En cambio respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro es

$\displaystyle\frac{1}{4}.M.R^2+\displaystyle\frac{1}{12}.M.H^2$

Saludos

[GNzcuber]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Hola,

Ya que hay un tema al respecto no abriré un nuevo hilo.

Yo tengo una duda sobre el cálculo de estos momentos de inercia, si considero el cilindro anterior de radio R, altura H y masa M, homogéneo y macizo, procederé a calcular su momento de inercia de diferentes formas que en principio me debería dar lo mismo.

Los datos que no variarán son:

- La densidad:

$$\dst \rho=\frac{M}{V}=\frac{{d}m}{{d}V}$$

- El área de cada disco:

$$\dst S=\pi\cdot R^2$$

- El área de cada cilindro hueco:

$$\dst A=2\pi\cdot r\cdot H$$

- Volumen del cilindro:

$$\dst V=\pi\cdot R^2\cdot H$$

Bueno, primero que nada lo calcularé como una suma infinita de cilindros huecos, dado por (3).

$$\dst \left.\begin{aligned}\int_0^Mr^2{d}m=\rho\int_0^Vr^2{d}V\\{d}V=2\pi rH{d}r\end{aligned}\right\} 2\pi\rho H\int_0^Rr^3{d}r=2\pi\left(\frac{M}{\pi R^2H}\right)H\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\frac{M\cdot R^2}{2}$$

De esta forma me da como resultado la fórmula correcta. Ahora voy a calcularlo como suma de discos, usando (2).

$$\dst \left.\begin{aligned}\int_0^Mr^2{d}m=\rho\int_0^Vr^2{d}V\\{d}V=\pi R^2{d}h\end{aligned}\right\} \rho\pi R^2\int_0^HR^2{d}h=\left(\frac{M}{\pi R^2H}\right)\pi R^4\left[ h\right]_0^H=M\cdot R^2$$

Lo cual es el doble de la solución correcta. Y por último, el momento de inercia del cilindro es la suma de los momentos de inercia de cada disco que lo compone, al igual que antes, pero primero calcularé los momentos de inercia de los discos:

- Densidad superficial

$$\dst \sigma=\frac{M}{S}=\frac{{d}m}{{d}S}$$

$$\dst \left.\begin{aligned}\int_0^Mr^2{d}m=\sigma\int_0^Sr^2{d}S\\{d}S={d}\left(\pi r^2\right)=2\pi r{d}r\end{aligned}\right\}2\pi\sigma\int_0^Rr^3{d}r=2\pi\left(\frac{M}{\pi R^2}\right)\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\frac{M\cdot R^2}{2}$$

Ahora sé, o eso creo, que como antes dije "la suma de los momentos de inercia de cada disco que componen el cilindro es igual al momento de inercia del cilindro". Por tanto voy a sumarlos así:

$$\dst I_C=\int_0^HI{d}h=\frac{M\cdot R^2\cdot H}{2}$$

Me podrían explicar qué estoy suponiendo correcto y no lo es, y qué errores tengo.

¡Muchas gracias!

P.D.: Sé que para un tubo como dice nico_palermo, pero estoy considerando el cilindro como suma de discos, no anillos. Aunque veo que no se notaría la diferencia, entonces si lo quisiese hacer como suma de discos ¿Cómo lo debería hacer?

[Al2000]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Cuando planteas que el momento de inercia es $\dst \int_0^M r^2 dm$ el diferencial de masa representa una partícula, es decir un pedacito del cuerpo de dimensiones muy pequeñas comparadas con $r$. Cuando sustituyes el $dm$ por la masa de un cascarón cilíndrico no cometes ningún error (a pesar de no tratarse de una partícula) porque todos los puntos que forman en cilindro están a la misma distancia $r$ del eje, de manera que aunque es un error de concepto, el resultado final es correcto. Un cuento diferente es cuando tomas como elementos de masa discos de grosor infinitesimal. Aquí el error es que no toda la masa $dm$ del disco se encuentra a una misma distancia $r$ del eje. De hecho nisiquiera es posible definir una distancia pues no puedes hablar de la distancia "del disco" al eje del disco ¿lo captas? la distancia es entre dos puntos, no entre un cuerpo y un punto.

Para que compares te hago la forma correcta del cálculo que hiciste "bien":

$$I = \int_0^M r^2 dm = \int_V r^2 (\rho dV) = \rho \iiint_V r^2 (r\,dr\,d \theta \,dz)=\rho \int_0^H \int_0^{2 \pi } \int_0^R r^3 \,dr\,d \theta \,dz$$

Llegado a este punto tu puedes elegir en que orden deseas integrar. Lo mas usual sería integrar primero el ángulo, formando anillos. Si luego integras $z$, obtienes cáscaras cilíndricas y vas rumbo al cálculo que hiciste "bien". Si en cambio integras primero $r$, obtienes discos. Sería interesante que lo hicieras y compararas con el cálculo que hiciste tomando discos.

No puedo extenderme mas pues necesito salir de casa. Al regreso releo lo que te escribí a ver si no metí la pata en algún lugar.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Muchas gracias Al, me imaginaba que ese era mi error en ese caso. Sin embargo se me cruzó que debería dar lo mismo porque de esas dos formas obtenía el cilindro, olvidándome de lo que realmente quería calcular.

Integrales múltiples no hacemos, pero como este caso es muy sencillo la introducción que nos hicieron es suficiente:

$$\dst I=\rho\int_0^H\int_0^{2\pi}\int_0^Rr^3{d}r{d}\theta{d}z=\rho\int_0^H\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R{d}\theta{d}z=\left(\frac{M}{\pi R^2H}\right)\frac{R^4}{4}\int_0^H2\pi{d}z=\frac{M R^2}{2}$$

Bueno, lo otro simplemente es cambiar las integrales de manera que lo que estoy cambiando son los factores de un producto, debo integrar tomando como constante todo lo que no me indique la variable del diferencial, porque es una suma infinita de porciones infinitesimales.

Entonces, como el momento de inercia de cada tubo cilíndrico de espesor infinitesimal es M·R², la suma de estos debería ser el momento de inercia del cilindro, y no la de los discos como puse:

$$\dst I=\int{d}I=\int_0^RMr{d}r=M\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^R=\frac{M\cdot R^2}{2}$$

Ahora mejor.

Siempre agradecido!

[Al2000]

Re: Momento de inercia de un cilindro

...
Entonces, como el momento de inercia de cada tubo cilíndrico de espesor infinitesimal es M·R², la suma de estos debería ser el momento de inercia del cilindro, y no la de los discos como puse:

$$\dst I=\int{d}I=\int_0^RMr{d}r=M\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^R=\frac{M\cdot R^2}{2}$$

Ahora mejor.
...

Para abundar un poco mas, a riesgo de ser cansón, tu error cuando intentaste calcular el momento de inercia del cilindro dividiéndolo en discos fue que de plano empezaste mal. Dijiste

$$I_C=\int_0^HI{d}h$$

lo que es incluso dimensionalmente incorrecto puesto que tienes momento de inercia en un lado de la ecuación y momento de inercia por distancia en el otro lado.

La idea es dividir el cilindro en discos de espesor infinitesimal y sumar los momentos de inercia de estos discos. Como estás tomando un disco de grosor muy pequeño, el momento de inercia será correspondientemente pequeño y nos queda

$$I = \int dI = \int d \left( \frac {M R^2} 2\right) = \frac {R^2} 2 \int dM = \frac {R^2} 2 M$$

que por supesto es el valor correcto.

Ahora suponte que el cilindro tiene densidad volumétrica que varía a lo largo del eje. Podemos usar el mismo método porque cada rebanada (disco) tendría una densidad constante, condición que impusiste cuando al hacer el cálculo del disco dijiste que $\sigma$ era constante.

La masa de cada rebanada sería ahora $dM = \rho_{(z)}\, dV_{(z)}$, poniendo $z$ como la coordenada a lo largo del eje. El momento de inercia sería entonces

$$I = \frac {R^2} 2 \int dM = \frac {R^2} 2 \int_{z_1}^{z_2}\rho_{(z)}\,dV_{(z)} = \frac {R^2} 2 \int_{z_1}^{z_2}\rho_{(z)}\, \pi R^2 \,dz} = \frac {\pi R^4} 2 \int_{z_1}^{z_2}\rho_{(z)}\,dz$$

que es hasta donde podemos llegar sin conocer la densidad.

Bueno, te dejo quieto Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Hola nuevamente,

Se me ha borrado todo el mensaje anterior, así que pondré lo principal porque me da palo .

Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos): El momento de inercia de un sólido rígido respecto un eje cualquiera es igual al momento de inercia de un eje paralelo que pasa por su centro de masas más el momento de inercia del centro de masas, como si toda la masa estuviera concentrada en este punto, con respecto al primer eje.

$$\dst I=I_{CM}+k^2M$$

Siendo k la distancia entre los ejes.

Teorema de los ejes perpendiculares: EL momento de inercia de un diferencial de masa con respecto a un eje se puede descomponer en la suma de los momentos de inercia de este diferencial de masa como si estuviera en las proyecciones de ejes perpendiculares al eje de rotación y entre sí.

$$\dst I_{zz}=\int r^2{d}m=\int (x^2+y^2){d}m=\int x^2{d}m+\int y^2{d}m=I_x+I_y$$

Teniendo un una barra de longitud L y masa M, en la cual hay dos discos iguales de masa m y radio r a una distancia R del eje mediatriz a la barra y con estos teoremas debo demostrar.

$$\dst I=I_0+2I_G+2mR^2=\frac{ML^2}{12}+\frac{mr^2}{2}+2mR^2$$

La primera parte es fácil, $\dst I_O=\int_0^Mx^2{d}m=\lambda\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}x^2{d}x=\frac{M}{L}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\frac{ML^2}{12}$.

Los dos últimos miembros de (3) corresponden al teorema de Steiner, el problema es que tengo dudas sobre el segundo término. Según un documento que he visto

$$\dst I_O=\int r^2{d}m=\int (x^2+y^2+z^2){d}m=I_x+I_y+I_z$$

Ahora respecto cada uno de los ejes que pasen por O, siendo este su centro de masas (supongo).

$$\dst \left.\begin{aligned}I_{xx}=\int (y^2+z^2){d}m\\I_{yy}=\int (x^2+z^2){d}m\\I_{zz}=\int (x^2+y^2){d}m\end{aligned}\right\}I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=2I_O$$

Que dice ser válido para todo sólido rígido.

Usando ahora (5) tengo la relación entre los ejes que pasan por el centro de masas de un disco, que lo estamos usando homogéneo. Si z es el eje perpendicular al área del disco tenemos $\dst I_{xx}=I_{yy}$, usando (5) tengo $\dst 2I_{xx}=2I_{yy}=I_O-I_{zz}$, "como la altura del disco en el eje z es cero tendremos $\dst I_O=I_{zz}$" por lo tanto $\dst I_{xx}=\frac{I_{zz}}{2}$.

Más arriba tenemos calculado el momento de inercia de un disco homogéneo respecto un eje que pasa por su centro geométrico, y así $\dst I_G=I_{xx}=I_{yy}=\frac{mr^2}{4}$.

Y con esto estaría todo bien, en cuanto a resultado, pero es bastante confuso para mí, en primer lugar no veo que (3) sea genérico para cualquier sólido rígido, creo que se está considerando o bien la altura del cuerpo igual a cero o de manera que la descomposición en discos, o lo que sea, permanecerá una figura constante. Por ejemplo, para una esfera homogénea el radio va variando a medida que tomamos diferentes puntos del eje que pasa por su centro de masa, contenidos en el volumen.

Por otra parte, la afirmación que puse entre comillas es porque es lo que pone en el documento y creo que es un caso particular, porque si el radio no varia en variar la altura también sería aplicable, ya que serían figuras congruentes solapadas, y con masa.

Si hay alguna forma más intuitiva, aunque sea más larga lo agradecería también.

¡Muchas gracias!

[Al2000]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Me dejaste "mas enreda'o que cuatro pulpos jugando dominó"... Te tengo un par de preguntas:

...Usando ahora (5) tengo la relación entre los ejes que pasan por el centro de masas de un disco, que lo estamos usando homogéneo. Si z es el eje perpendicular al área del disco tenemos , usando (5) tengo ...

- ¿Cómo concluyes esto? No lo veo...

...en primer lugar no veo que (3) sea genérico para cualquier sólido rígido...

- ¿No habías dicho que "Teniendo un una barra de longitud L y masa M, en la cual hay dos discos iguales de masa m y radio r a una distancia R del eje mediatriz a la barra y con estos teoremas debo demostrar"? ¿Por qué ahora dices que es genérico para cualquier cuerpo sólido?

Mencionas tener alguna duda con respecto al grosor de los discos pero lo que yo veo para la demostración que planteas es que se están considerando dos discos de grosor cero (dos veces $\dst \frac {m r^2} 4$) a la distancia $R$ del centro de la barra (+ dos veces $m R^2$).

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Momento de inercia de un cilindro

Hola Al,

Sí, corrijo mis errores primero que nada .

El resultado genérico me refería a (4), como estaba escribiendo no sabía bien en qué posición estaba. La que dice que es genérica para cualquier sólido es

$$\dst I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=2I_O$$

Utilizo esta fórmula para aplicarla a los discos, tomando el eje z como el perpendicular al área de un disco, por simetría tendré $\dst I_{xx}=I_{yy}$.

Ahora (4) me queda como $\dst 2_{xx}=2I_O-I_{zz}$, pero $\dst I_O$ es el momento de inercia de un eje que pasa por el centro de masas, y es igual a $\dst I_{zz}=\frac{Mr^2}{2}$. Según entiendo $\dst I_O$ es un momento de inercia que pasa por el centro de masas, pero es el momento de un eje cualquiera, arbirtario, y por simplicidad lo escojo igual a $\dst I_{zz}$.

Por cierto, voy a plantear mi "solución más intuitiva" con respecto los ejes y y z. Si tomo como eje de rotación x, entonces descompongo el disco en pequeñas "tiras", y la masa de estas me variará con y, porque en el centro medirán 2r mientras que en y=r su longitud será cero.

Esta variación, al ser una circunferencia sé que estará relacionada con las funciones trigonométricas, usaré el coseno de un ángulo que va del eje x al y, por tanto $\dst \cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{r^2-y^2}}{r}$

Bueno, la escribiré en un siguiente mensaje porque he visto un error y veré cómo lo resuelvo.

¡Muchas gracias!

[farhan]

Re: Momento de inercia de un cilindro

quisiera saber como obtener la inercia de un cilindro curvado, con respecto a un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro, lo resolví pero cuando lo llevo a un cilindro recto haciendo el radio de curvatura muy grande y el angulo muy pequeño, no me da el resultado q debería dar para un cilindro recto

[Al2000]

Re: Momento de inercia de un cilindro

¿Te puedo sugerir que plantees la pregunta en un nuevo hilo? Si entendí lo que quieres hacer, ¿se trata de hallar el momento de inercia de un segmento de toro respecto del eje del toro? Sería bueno ver lo que hiciste.

Saludos,

Al