1r ciclo Problema de oscilaciones.

[Cherno Alpha]

Tengo un problema de movimiento armonico simple, y estoy un poco atascado, a ver si me podeis echar un cable. Primero pondre el anunciado y luego las resoluciones a las que he llegado. Yo no lo puedo comprobar pq no tengo los resultados.

Problema. Cuando se cuelga una masa m de un muelle helicoidal sujeto al techo se observa que el muelle se alarga una longitud $x_0$. Se cuelga, ademas, otro cuerpo de masa M y se tira con cuuidado de las dos masas hasta que el estiramiento del muelle es A. En ese momento se sueltan las masas, y el sistema comienza a oscilar. Se desean conocer los siguientes valores:
a) La frecuencia de oscilacion.
b) La posicion, la velocidad, aceleracion y fuerza recuperadora cuando ha pasado un tiempo t despues de haber empezado a oscilar.
c) La energia cinetica, potencial y total en ese instante t.
d) Evalue los resultados anteriores para m = 10 kg. $x_0$=2cm, M=1o kg, A=3cm, t=2s.
Se deben indicar los signos de todas las cantidades pedidas, y dar los resultados en unidades del sistema internacional.

Vale. Esto es un problema de movimiento armonico simple.

a) la frecuencia de oscilacion

supongo que simplemente es aplicar esta formula

$w=\sqrt\frac{k}{m+M}$

b) Aqui empieza el mogollon.
La posicion sera $y=Acos(wt+\delta)$
Velocidad $v=-Awsin(wt+\delta)$
aceleracion $a=-w^{2}y$
La fuerza recuperadora es lo que no se.

c)
Energia cinetica $E_{c}=\frac{1}{2}kA^{2}sin^{2}(wt+\delta)$
Energia potencial $U=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(wt+\delta)$
y la Energia total $E_{total}=\frac{1}{2}kA^2$

d) Aqui seria sustituir los datos que se dan en las formulas anteriores, como no te dan el valor de $k$ se busca aplicando la segunda ley de Newton, asi:

$\Sigma F_{y}=w_{y}+F_{y}=ma$
como la aceleracion en el instante que las masas estan sin oscilar es 0
$mg+(-kx_0)=0$
despejamos la $k$ y $k=\frac{mg}{x_0}$

La fuerza recuperadora no se como encontrarla, asi como el valor $\delta$
Me podeis decir si todo lo demas esta correcto?
Oye gracias por adelantado.
Os quiero a todos

PD: Gracias Ulises, pq en tu blog he econtrado como se escriben las letras griegas. I love you man !!!

[electr0n]

Re: Problema de oscilaciones.

Hola!

Primero puedes incluir los datos que te dan en la frecuencia de oscilación:

$<br /> \displaystyle\omega =\sqrt{\frac{g}{x_0}\frac{m}{m+M}}<br />$

Si pones una expresión general para la altura de oscilación y aplicas las condiciones iniciales, es sencillo calcular el desfase (que debe ser nulo); siguiendo tu notación:

$y(t)=y_0cos(\omega t+\delta)$

$y(0)=y_0cos\delta=A$

$v(t)=y'(t)=-y_0\omega sen(\omega t+\delta)$

$<br /> v(0)=-y_0\omega sen\delta=0 \Rightarrow \delta=0<br />$

Así pues, y(0)=y_0=A y por tanto las ecuaciones generales serán:

$y(t)=Acos\omega t$

$v(t)=-A\omega sen\omega t$

$a(t)=A\omega^2cos\omega t$

La fuerza recuperadora se expresa mediante la ley de Hooke:

$\displaystyle F(t)=-ky(t)=-\frac{mg}{x_0}Acos\omega t$

Y las energías debes calcularlas mediante:

$E_c=\frac{1}{2}(m+M)v(t)^2$

$E_p=\frac{1}{2}ky(t)^2$

Salvo estos detalles, no ibas mal

Saludos!

PD: ¿Nos amas?

[alespa07]

Re: Problema de oscilaciones.

Hola. Teniendo en cuenta de que el sistema es vertical (dice que colgamos una masa m) la segunda ley de Newton es:

$(m+M)\ddot x+kx=(m+M)g$

Entonces, al no ser homogénea, a la solución general de la homogénea (que es la que habéis dado) habrá que añadirle una solución particular no?

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema de oscilaciones.

La fuerza recuperadora no se como encontrarla, asi como el valor $\delta$
Me podeis decir si todo lo demas esta correcto?

La fuerza recuperadora (algunos autores la llaman restauradora) es la fuerza que trata de llevar la partícula a la posición de equilibrio, en este caso la fuerza del resorte.

El valor de $\delta$ lo obtienes a partir de las condiciones iniciales del problema. En tu caso particular $\delta$ es cero porque tu origen del tiempo está en el punto de máxima elongación [$v(0)=0$].

Por último, tienes que modificar algunas ecuaciones porque estás usando las ecuaciones del MAS cuando sólo actúa la fuerza del resorte y te estás dejando por fuera la acción de la gravedad. El efecto del peso, que será una fuerza constante, es mover el punto de equilibrio. La partícula oscilará alrededor del punto $x_0$ (deberías llamar la variable de posición $x$ o cambiar $x_0$ por $y_0$ para evitar confusiones). Búscate en tu(s) libro(s) algún ejemplo de movimiento de un sistema masa-resorte en posición vertical para que veas el tratamiento. Si te encantan las matemáticas, esta es la ecuación de movimiento:

$\dst -k y - m g = m \frac {d^2 y}{dt^2}$

Resuelve la ecuación (o busca la solución en una tabla) y obtén a partir de allí la velocidad, etc, etc.

Saludos,

AA

PD. Cuando puse $m$ me refería a la masa total, perdón por el lapsus. El mensaje de alespa07 de hizo ver la impresición en mi mensaje. La diferencia de signos es debida a la elección de la forma de medir la posición.

PPD. Uff, detecté otro error en lo que escribí. Al poner que el cuerpo oscila alrededor de $x_0$ de nuevo me estoy olvidando de la masa $M$ El cuerpo oscila alrededor de la elongación (estática) producida por la masa combinada $m+M$, es decir, alrededor del punto $\dst \frac {(m+M)g} k$. El valor de $\dst x_0=\frac {mg}k$ se usaría en el problema para determinar $k$. Sorry por toda la confusión.

[electr0n]

Re: Problema de oscilaciones.

A ver, voy a puntualizar:

Necesitamos conocer la situación de equilibrio para el conjunto, de manera que hacemos:

$\displaystyle -ky_{eq}=-(m+M)g\Rightarrow y_{eq}=\frac{m+M}{m}x_0$

Al estirarlo hasta una longitud A, el sistema oscilará en torno a su posición de equilibrio; la ecuación del movimiento debe ser:

$\displaystyle -k(y-y_{eq})-(m+M)g=(m+M)\frac{d^2y}{dt^2}$

Recordando que $\displaystyle k=\frac{mg}{x_0}$ y reordenando términos, la solución general de la ecuación es:

$y(t)=Acos\omega t$

Mejor?

[Al2000]

Re: Problema de oscilaciones.

Se ve bien, sólo que $A$ no es la misma del enunciado, la amplitud de la oscilación sería $A-y_{eq}$ y $y(t)$ se mide desde $\dst y_{eq}$. El valor de $\omega$ sería el conocido $\dst \omega = \sqrt{\frac k{m+M}}$.

Saludos,

AA

[electr0n]

Re: Problema de oscilaciones.

Sí, me refería a eso (he caído en el mismo error de llamar A a dos cosas diferentes).

La ecuación efectivamente es

$\boxed{\displaystyle y(t)=\left(A-\frac{m+M}{m}x_0\right)cos(\omega t)}$

Si acaso, mañana termino de poner el resto de expresiones que le piden.

Saludos