Secundaria MRU - hormigas encuentro

[Larry S]

Hola
Una ayuda con este problema, el cual no sé cómo llegar a la solución .

- Cuatro hormigas $A$, $B$, $C$y $D$ se encuentran ubicadas respectivamente en los vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ de un cuadrado de lado $L$.
Las hormigas inician su movimiento con la misma celeridad "$V$"; dirigiéndose la primera a la segunda, la segunda a la tercera, la tercera a la cuarta y la cuarta a la primera.
¿Al cabo de cuánto tiempo se encuentran?

A)$L/V$
B)$2L/V$
C)$L/(2V)$
D)$3L/V$
E)$L/(4V)$

Lo que pensé y que a su vez me generó dudas para resolverlo
Este problema está en un folleto que tengo y está en la sección de MRU, o sea movimiento rectilíneo uniforme, velocidad constante, entonces si cada hormiga persigue a la otra, su movimiento no será rectilíneo, o sea no tienen velocidad constante, sólo rapidez.
Aparte de eso como las hormigas se siguen, supongo (no sé cómo demostrar) que se encuentran en el centro del cuadrado.

Gracias desde ya por sus respuestas.
Saludos.

[skwp]

Re: MRU - hormigas encuentro

Hola
Una ayuda con este problema, el cual no sé cómo llegar a la solución .

- Cuatro hormigas $A$, $B$, $C$y $D$ se encuentran ubicadas respectivamente en los vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ de un cuadrado de lado $L$.
Las hormigas inician su movimiento con la misma celeridad "$V$"; dirigiéndose la primera a la segunda, la segunda a la tercera, la tercera a la cuarta y la cuarta a la primera.
¿Al cabo de cuánto tiempo se encuentran?

A)$L/V$
B)$2L/V$
C)$L/(2V)$
D)$3L/V$
E)$L/(4V)$

Lo que pensé y que a su vez me generó dudas para resolverlo
Este problema está en un folleto que tengo y está en la sección de MRU, o sea movimiento rectilíneo uniforme, velocidad constante, entonces si cada hormiga persigue a la otra, su movimiento no será rectilíneo, o sea no tienen velocidad constante, sólo rapidez.
Aparte de eso como las hormigas se siguen, supongo (no sé cómo demostrar) que se encuentran en el centro del cuadrado.

Gracias desde ya por sus respuestas.
Saludos.

En un MRU, la velocidad es constante, por lo tanto la aceleración es nula.
Y si no hay aceleración es imposible que una recorte distancia respeto a la otra. Por mi que nunca se encuentran.
Claro está que nunca se me han dado muy bien la preguntas de “ a b c”.


Saludos.


pd: no tienes las respuestas de los ejercicios del folleto.

[Larry S]

Re: MRU - hormigas encuentro

Gracias por la respuesta skwp.
Sí tengo la respuesta es:
$L/V$
Un amigo me pasó esta página donde está el problema, pero no sé si se puede explicar de una manera más sencilla, ya que todavía no tengo el conocimiento suficiente para entender todo lo que está en esa página.
De lo que estuve revisando mi teoría, pensé que mediante la $V_m=d/t$ podría resolverlo ya que aquí no importa la trayectoria, pero la distancia sería la mitad de la diagonal del cuadrado lo cual no coincide con la respuesta.
Según lo poco que entendí de la página que me proporcionaron la longitud de la curva que describe cada hormiga, resulta ser el lado del cuadrado, entonces creo que no se está utilizando la velocidad media.

Si alguien más puede hacer que vuelva a la "realidad" . Gracias de antemano.

[[Beto]]

Re: MRU - hormigas encuentro

Ese es un ejercicio bastante clásico de tiempo te de encuentro, sugiero que esperes a ver ecuaciones diferenciales ... o si no también podrías ubicarte en el sistema de referencia de una de las hormigas, me parece que con un poco de geometría se puede llegar a esa relación.

[electr0n]

Re: MRU - hormigas encuentro

¡Qué problema tan interesante! Aunque al final, creo que la expresión de longitud de arco está mal. Sería:

$<br /> \displaystyle L_{total}=\int_0^{\infty}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}d\theta=L<br />$

Necesitas nociones de cálculo diferencial para resolverlo, pero con coordenadas polares sale bastante bien

Saludos

[skwp]

Re: MRU - hormigas encuentro

Gracias por la respuesta skwp.
Sí tengo la respuesta es:
$L/V$
Un amigo me pasó esta página donde está el problema, pero no sé si se puede explicar de una manera más sencilla, ya que todavía no tengo el conocimiento suficiente para entender todo lo que está en esa página.
De lo que estuve revisando mi teoría, pensé que mediante la $V_m=d/t$ podría resolverlo ya que aquí no importa la trayectoria, pero la distancia sería la mitad de la diagonal del cuadrado lo cual no coincide con la respuesta.
Según lo poco que entendí de la página que me proporcionaron la longitud de la curva que describe cada hormiga, resulta ser el lado del cuadrado, entonces creo que no se está utilizando la velocidad media.

Si alguien más puede hacer que vuelva a la "realidad" . Gracias de antemano.

Ups, yo entendí mal el problema, creía que seguían el camino del perímetro del cuadrado.
Bueno, como bien han dicho Beto y Elect0n, el problema es un poco complicado, básicamente porque necesitas conocimientos de ecuaciones diferencias , al menos para mi, que las ecuaciones diferencias no son mi fuerte.
Pero por lo que veo en la página, y la aclaración de electr0n, puedes hacerte una idea.

Cuidate.

Pd: Gracias Electr0n, por el apunte.

[Larry S]

Re: MRU - hormigas encuentro

Hola
Disculpen por ser tan molestoso .
He encontrado la solución del problema (para secundaria), pero necesito que me ayuden a entenderlo . Acá lo transcribo tal cual (en este caso no son hormigas sino tortugas,no es por eso que no entienda la solución dada :

Por la simetría del movimiento, es evidente que en cualquier instante del tiempo las tortugas estarán en los vértices de un cuadrado cuyos lados va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo.

La trayectoria aproximada de las tortugas se puede apreciar en el gráfico adjunto.



La velocidad de las tortugas tiene una componente aproximada $V_C=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}V$ que en todo instante apunta al centro ($O$) de los sucesivos cuadrados que se van formando.

Ahora, como cada tortuga hasta llegar al centro recorrerá una distancia radial igual a $l=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}a$, entonces el intervalo de tiempo que demora en encontrarse con las otras en el centro ($O$) será:

$\triangle t=t=\displaystyle\frac{l}{V_C}=\displaystyle\frac{\cancel{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}}a}{\cancel{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}}V}$

$t=\displaystyle\frac{a}{V}$

Las principales dudas que tengo
a)¿Se puede trabajar sólo con una componente de un vector?
b)¿Para descomponer un vector necesariamente no se debe descomponer, en este caso, en dos vectores que por resultado den el vector?
c)¿La componente aproximada, del problema, viene a ser la velocidad media?. Lo digo porque es paralela a la distancia ???
d)¿Si es la velocidad media, sé que para esta no importa el trayecto, pero para calcular con $t=\displaystyle\frac{l}{V_C}$ no necesita también tener en el punto final de la distancia la misma velocidad $V_C$? ¿La tiene?

Tengo otro problema de la misma clase, esta vez en un triángulo equilatero, pero no quiero ser tan mecánico para resolverlo.
Gracias como siempre de antemano y disculpen por ser tan preguntón .

Saludos.

[baustian]

Re: MRU - hormigas encuentro

Haber si puedo ayudarte:

a) Tomas la componente $Vc$ de la velocidad para fijar un nuevo recorrido. Si las hormigas en vez de hacer el recorridos espiralado, harian un recorrido lineal, supongamos desde la hormiga del estremo inferior derecho hasta O, lo harían con una velocidad $V_c$ y recorrerian una distancia $l$.

Para ser más claro, tomando el recorrido lineal desde la partida de la tortuga al centro tenemos:
$\Delta \vec{r}=r_f-r_i=l$
y
$\Delta \vec{V}=V_c$

Finalmente nos queda: $t=\frac {\Delta \vec{r}}{\Delta \vec{V}}=\frac l V_c$

Por tu pregunta que hiciste en d) te comento que se tienen en cuenta los puntos inicial y final, solamente que como definiste tu cero del eje de coordenadas en donde parte una de las tortugas te da $r_i = 0$ y $V_i=0$

Espero que te sirva saludos.